Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 14-05-2021 10:23:49
- Bernard-maths
- Membre
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 316
Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?
Bonjour à tous !
Puisque certain demandeur juvénile cherche la forme de rectangle d'aire maximale pour un périmètre donné 2p ...
Alors je vous demande, pour un triangle de périmètre donné 3p > 0, quelle doit être sa forme pour qu'il ait une aire maximale ?
Bien sur, après, on peut se poser la question pour un polygone de n côtés, quelle doit être sa forme pour qu'il ait une aire maximale, si on lui impose un périmètre fixe, par exemple égal à n*p, p > 0 ?
C'est juste pour vous amuser ! Moi j'ai encore presque rien démontré ...
Cordialement, Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (14-05-2021 10:25:43)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !
Hors ligne
#3 14-05-2021 12:58:05
- Bernard-maths
- Membre
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 316
Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?
Salut Yoshi !
Ben oui, c'est ce qui est tentant ! Et sans doute vrai ... Mais comment le démontrer ?
pour donner des idées triangulaires ...
Pour plus, je ne sais pas encore. Récurrence ?
@plus, B-m
Dernière modification par Bernard-maths (14-05-2021 12:58:36)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !
Hors ligne
#4 15-05-2021 14:48:42
- Bernard-maths
- Membre
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 316
Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?
Bonjour à tous !
1°) Le dessin fait (bien) voir que si on fixe a < p/2, les 2 autres côtés ont une somme b + c = p - a = constante > p/2 ... donc le 3ème point C du triangle se trouve sur une ellipse ... l'aire du triangle vaut alors a * CI /2, si CI est "la hauteur issue de C". Si on déplace le point C sur l'ellipse, "on voit que" CI va diminuer ... donc l'aire maximale est atteinte quand C est "en haut" ! Donc quand ABC est isocèle ...
Si on fait varier la dimension de AB = a, on va constater (on peut calculer !) que l'aire est maximale lorsque a = p/3. Donc si ABC équilatéral !!!
2°) J'ai pas de solution justifiée !!!
Mais je pense qu'on peut tenter une approche itérative, en procédant comme au 1°), par exemple avec un quadrilatère :
Soit ABCD un quadrilatère de périmètre donné p > 0. AB = a et BC = b étant fixés, il reste pour CD = c et DA = d que c + d = p - a - b = constante ... donc D est sur une ellipse da foyers A et C ... l'aire de ACD est maximale pour ACD isocèle en D, donc d = c ...
De "l'autre côté", B est sur une ellipse de foyers A et C aussi ... on aboutit de même à a = b ...
Si on prend ensuite une ellipse de foyer B et D, c'est au tour de faire "dire" que a = d ... etc ... ???
On doit pouvoir arriver à a = b = c = d ? Et donc ABCD carré !
Eh bien, dites moi ce que vous en pensez !
@+, B-m
Dernière modification par Bernard-maths (15-05-2021 15:09:06)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !
Hors ligne
#6 15-05-2021 17:02:06
- Bernard-maths
- Membre
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 316
Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?
Merci Roro !
Je me doutais que ça devait trainer quelque part, mais je n'ai pas cherché, car j'aime bien cogiter ...
Bonne soirée, B-m
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !
Hors ligne