Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 04-05-2021 00:43:44

gigot
Invité

Théorie des groupes.

Bonjour,

A la page, [tex]1[/tex]  du pdf suivant, http://math.univ-lyon1.fr/~cretin/OralA … 60-168.pdf , on précise que,
- [tex] M = N_G (P) \cap N_G ( Q )[/tex] est nécessairement d'ordre [tex]2[/tex]. Pouvez vous m'expliquez pourquoi ?
On précise ensuite que,
- Si [tex]M = \langle \beta \rangle = \{ \mathrm{id} , \beta \}[/tex], on a alors, : [tex]N_G (P) = M \rtimes Q = \langle \alpha , \beta \rangle[/tex], avec, [tex] \beta \alpha \beta^{-1} = \alpha^{-1}[/tex]. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance.

#2 04-05-2021 16:45:28

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Bonjour,

Peux-tu me rafraichir la mémoire ? [tex]\mathscr{A}_6[/tex] est bien le plus grand sous-groupe simple de [tex]\mathscr{S}_6[/tex] ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#3 04-05-2021 21:16:10

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

Je ne sais pas. Franchement. désolé.
Peux tu m'aider pour cette question que j'ai posée ?
Merci.

#4 05-05-2021 07:53:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Théorie des groupes.

Bonjour,

  $\mathcal A_6$ est le sous-groupe de $\mathcal S_6$ des permutations de signature $1$. Moi, c'est la notation $N_G(P)$ et $N_G(Q)$ qui me pose problème. Elle n'est pas explicitée dans le document, et elle ne me semble pas si standard...

Sinon, l'argument qui me semble le plus élémentaire est que l'ordre de $M$ divise l'ordre de $N_G(P)$ (je ne sais pas à combien il est égal) et l'ordre de $N_G(Q)$ (qui vaut $10$).

F.

Hors ligne

#5 05-05-2021 08:39:24

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Bonjour Fred et Gigot,

Il me semble que la notation [tex]N_G(P)[/tex]  désigne le normalisateur dans G de P, c'est-à-dire (par définition) le plus grand sous-groupe de G dans lequel P est normal.

En lisant le document (au moins le début et les premières assertions affirmées ) :

Je suis d'accord que l'intersection de P et Q est {e}  car ces deux sous-groupes sont distincts et d'ordres premier 5, donc si un élément non trivial était commun, il engendrerait à la fois P et Q qui serait donc égaux.

Un peu moins évident est l'isomorphisme avec une partie du  groupe alterné sur 6 éléments, mais je présume que l'image isomorphe à G étant simple ( comme G par hypothèse) et sous groupe de Sn , c'est la raison.
D'où ma question à Gigot pour confirmer.

J'avoue que la théorie des groupes et ses arcanes ( assez  profonde dans cet exo  ) est un peu loin...

Cordialement,
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#6 05-05-2021 10:22:49

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Je reviendrai vers ton message après m'être replongé dans ce genre d'affaires, normalité, p-sous-grpes  , théorèmes de Sylow , produits semi-directs et j'en oublie sans doute...

En tous cas si ta demande n'est pas trop urgente. Je suppose que non, vue que c'est la solution que tu examines.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#7 05-05-2021 13:12:39

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

On a aussi la bijectivité de u car P ayant 5 éléments et [tex]\Omega[/tex] 6 éléments, et sachant que u est injective, et que P et [tex]\Omega \backslash \{P\} [/tex] ont chacun 5 éléments, u est bijective...

Simple remarque, mais autant avoir les idées claires

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#8 05-05-2021 14:11:20

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Pour l'injectivité de [tex]\phi[/tex] , il suffit de considérer son noyau . Comme G est simple, il ne peut être que {e} ou G entier, mais G entier aboutit à une contradiction : l'action identité aboutirait à obtenir [tex] n_5 = 6[/tex] sous-groupes distingués dans G (puisque pour chacun son normalisateur serait G...), qui ne peut justement en avoir que 2... car simple.

L'inclusion dans [tex]\mathscr{A}_6[/tex] de l'image est dû au fait que D(G) ( sous-groupe dérivé de G) vaut G (sinon G simple serait commutatif et donc serait un groupe d'ordre premier, mais 60 n'est pas premier...) et que [tex]D( \mathscr{S}_6)  = \mathscr{A}_6 [/tex]  ( il faut connaître un peu la dérivation des groupes, quitte à jouer au Rubik's cube...) et en utilisant le monomorphisme en question... cela donne la propriété.

Bref ça désépaissit le contexte, un peu parachuté à mon avis... ce qui peut t'aider.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#9 06-05-2021 08:46:38

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Bonjour,

Pour la cardinalité 2 de l'intersection des normalisateurs de P et Q, je pense qu'étant isomorphes à [tex]D_5[/tex] ( groupe diédral sur 10 éléments , engendré par une symétrie et une rotation sauf erreur) , P et Q isomorphes à [tex]C_5[/tex],  si cette intersection contenait un élément d'ordre 5, elle contiendrait aussi P et Q
( les 5 rotations de [tex]D_5[/tex] ) , ce qui n'est pas possible car [tex]P \cap Q = \{e\} [/tex] ... comme dit auparavant.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#10 07-05-2021 05:22:11

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

Ah oui, c'est vrai. Merci beaucoup.
On dit aussi que :
- Si [tex]M = \langle \beta \rangle = \{ \mathrm{id} , \beta \}[/tex], on a alors, : [tex]N_G (P) = M \rtimes Q = \langle \alpha , \beta \rangle[/tex], avec, [tex]\beta \alpha \beta^{-1} = \alpha^{-1}[/tex]. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.

#11 07-05-2021 05:38:08

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

Je crois que j'ai compris :
On a, [tex]N_G (P) \sim D_5[/tex].
On a, [tex]P \sim C_5[/tex].
On a [tex] M \sim C_2[/tex].
Or, [tex]D_5 = C_5 \rtimes C_2 = \langle \alpha , \beta \rangle[/tex]. Donc, [tex]N_G (P) = P \rtimes M = \langle \alpha , \beta \rangle[/tex].
et si on regarde, ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_di%C3%A9dral , on a, [tex]D_5 = \langle \alpha , \beta \ | \ \alpha^2 , \beta^5 , \beta \alpha \beta^{-1} \alpha \rangle[/tex]. D'où forcément, [tex]\beta \alpha \beta^{-1} = \alpha^{-1}[/tex].
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

#12 07-05-2021 06:01:57

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

On passe à la suite :
S'il vous plaît, toujours à la page [tex]2[/tex] du meme pdf, l'auteur affirme que, puisque [tex]\beta[/tex] est d'ordre [tex]2[/tex], alors, [tex]N_G (M) = C_G ( \beta )[/tex]. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance.

#13 07-05-2021 06:49:14

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

En fait, c'est évident il me semble :
En effet,
[tex]N_G (M) = N_G ( \{ e , \beta \} ) = C_G ( e ) \cap C_G ( \beta ) = C_G ( \beta )[/tex].

#14 07-05-2021 06:54:01

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

Toujours à la meme page [tex]2[/tex] du meme pdf, comment conclut-t-on que [tex]G = \langle \alpha , \beta , \gamma \rangle[/tex] en sachant que [tex]N_G (P)[/tex] est un sous groupe maximal de [tex]G[/tex] ?
Merci d'avance.

#15 09-05-2021 01:14:58

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

@bridgslam,
Un peu d'aide s'il vous plaît.  :-)

#16 10-05-2021 08:31:09

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Bonjour,

J'ai replongé pas mal dans la théorie des groupes ( avancée, disons niveau 2 ) en remettant de l'ordre dans les notions très utiles:
normalité, actions, théorèmes d'isomorphismes, suites exactes, produits semi-directs, modèles de groupes les plus classiques, résolubilité, p-groupes, Sylow.
Votre sujet est très technique, et ( à mon humble avis ) présenté sous un angle un peu compliqué, certaines affirmations étant très liminaires, en fait conséquences de propriétés sous-jacentes  assez profondes non explicitées, ce qui est délicat pour des non-spécialistes.
Je ne pourrai guère avancer davantage stricto sensu dans l'optique du sujet ni vous aider mieux - j'en suis désolé.

Des présentations nettement plus simples ( et complètement limpides ) sur la Toile prouvent très proprement que le seul modèle de groupe simple d'ordre 60 est le groupe alterné sur 5 éléments ( le site agreg-maths par exemple ):

https://agreg-maths.fr/developpements/116
https://agreg-maths.fr/uploads/versions/1092/Groupe%20d'ordre%2060.pdf

Mes quelques remarques d'éclaircissement sur quelques affirmations émaillant le texte ont tout du moins du vous aider, en tous cas je l'espère.

Cordialement

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#17 10-05-2021 09:14:34

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Re-bonjour,

Voici par exemple une affirmation très simple qui peut énormément servir dans un sujet sur les groupes ( notamment sur leur génération ), mais qui, passée  sous silence dans le sujet, disons entre deux lignes, en déroutera plus d'un qui n'a plus en tête ce résultat:

Si (G, *) est un groupe non commutatif tel que tout sous-groupe strict est commutatif, alors G admet un système de générateurs à 2 éléments. Un exemple banal, dans le cas fini , [tex]\mathscr{S}_3[/tex], non abélien dont les seuls sous-groupes stricts sont cycliques...

La correction de M. Crétin  se base sur ce genre de faits, absolument véridiques mais assez "cachés", si on ne les a pas en tête au moment voulu ( tel un spécialiste ), on est vite perdu. On comprendrait mieux  sans doute les choses, si d'autres papiers préalables du même auteur, existent et sont disponibles... J'ai investigué un peu mais son site est verrouillé côté documents ( sauf si on a les noms exacts des documents pdf de son site relatifs aux groupes...).


Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#18 15-05-2021 22:59:40

gigot
Invité

Re : Théorie des groupes.

Merci bridgslam.

#19 16-05-2021 10:50:01

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Théorie des groupes.

Bonjour,

Les pages wikiversité -> algèbre -> groupes  sont très complètes, et couvre je pense tous les aspects des groupes, classés par thèmes et difficultés.
Exercices à l'appui, souvent intéressants et complétant idéalement  la théorie, on peut rapidement devenir kéké en la matière...

Bonne chance
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt huit plus cinquante sept
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums