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skywalker27

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Problème de convexité

Bonjour !

Dans un exercice, on me demande d'étudier le signe et les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par : $f(x)=(1+x)e^{-x}$.

Pour le signe :
- $f$ est strictement négative sur $]-\infty;-1[$
- $f$ s'annule en $-1$
- $f$ est strictement positive sur $]-1;+\infty[$ (condition A)

Pour les variations :
- $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$
- $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ (condition B)

Pour les limites :
- $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty $
- $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $ (condition C)

On me demande ensuite de tracer la courbe représentative de $f$ sur $[1;5]$. C'est ici qu'intervient la convexité.
En effet, je ne sais pas si la courbe est concave, convexe, ou si elle change de convexité sur l'intervalle.
Pour le savoir, j'ai décidé de calculer la dérivée seconde.
J'en déduis que $f$ est concave sur $]-\infty;+1]$ et convexe sur $[+1;+\infty[$. Le point d'inflexion $I$ a pour coordonnées: $(1;\frac{2}{e})$. Grâce au signe, à la décroissance, à la limite et la convexité, je peux enfin tracer la courbe.

Après avoir fait plein de courbes au brouillon, je me suis posé la question suivante:
Est-il vrai que toute fonction vérifiant les conditions A, B et C admet un réel $x_0\geq1$ à partir duquel elle devient convexe ?
Plus généralement, une fonction strictement positive et décroissante sur $\mathbf{R}+$ peut-elle tendre vers un réel fini en $+\infty$ tout en restant concave ?

Dernière modification par skywalker27 (02-05-2021 17:56:06)

Fred

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Re : Problème de convexité

Plus généralement, une fonction strictement positive et décroissante sur $\mathbf{R}+$ peut-elle tendre vers un réel fini en $+\infty$ tout en restant concave ?

Bonjour,

  Sauf si $f$ est constante, ce n'est pas possible : si $f$ est concave, sa courbe se situe sous ses tangentes. En un point où la fonction est décroissante, la pente de la tangente est négative....

F.

skywalker27

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Re : Problème de convexité

Bonsoir,

Merci pour votre piste sur les tangentes.

J'ai aussi l'intuition que ce n'est pas possible, et je crois avoir une démonstration qui tient la route :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\mathbf{I}$ de borne supérieure $+\infty$.
     (1)     $f$ est strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$ avec $\alpha \in \mathbf{I}$ 
     (2)     $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l $ avec $l \in \mathbf{R}$

Démontrons qu'une telle fonction est convexe sur $[x_0;+\infty[$, avec $x_0\geq\alpha$.

D'après la condition (1), en un point de $[\alpha;+\infty[$, la tangente à la courbe de $f$ a une pente strictement négative.

Or, d'après la condition (2), la courbe de f, notée $C_f$, est située au dessus de la droite $\Delta$ d'équation $y=l$.
$\Delta$ est une asymptote horizontale à $C_f$ en $+\infty$. La pente de $\Delta$ est nulle.

Pour que (1) et (2) soient respectées simultanément, il faudrait donc que les tangentes s'aplanissent ($f'$ strictement croissante) pour tendre vers une pente "limite" égale à 0 (qui représente $\Delta$).

Supposons $f$ concave sur $[\alpha;+\infty[$:
- alors $f'$ est strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
- alors $C_f$ est située en-dessous de ses tangentes, qui sont de plus en plus raides (pente limite de $-\infty$) en $+\infty$.
- cela contredit donc les conditions (1) et (2)

Conclusion: La dérivée $f'$ est donc strictement croissante sur un intervalle $[x_0;+\infty[$, avec $x_0\geq\alpha$. Cela équivaut à dire que $f$ est convexe sur $[x_0;+\infty[$. 

Remarque: On n'a pas besoin de poser une condition sur le signe de $f$.

Dernière modification par skywalker27 (03-10-2021 19:27:19)

bridgslam

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Re : Problème de convexité

Bonjour,

Si f est strictement décroissante à partir d'un certain [tex]x_o[/tex] réel, dérivable,  strict. positive et concave et qu'on suppose en plus qu'elle a une limite l en +infini, alors
on a [tex]f(x) \leq ax +b [/tex] puisque son graphe est en dessous de toute ses tangentes ( a et b réels, on  peut supposer a < 0 car f décroit str ) .
A partir de là , pour [tex] x > A \;assez \;grand   \;  f(x)   \leq ax + b [/tex]  et [tex]f(x) \in ] l - \epsilon , l + \epsilon [ [/tex] ( [tex]\epsilon >0 \;donné )[/tex]

Donc [tex]x > A  => ax + b \gt l- \epsilon [/tex] par transitivité de l'ordre, visiblement incompatible avec le fait que la fonction affine considérée n'est pas minorée.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

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Re : Problème de convexité

On peut si on veut réduire drastiquement les hypothèses, la concavité devenant superflue:

Soit [tex] f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] majorée au voisinage de [tex] +\infty [/tex] par une fonction affine str. décroissante ( ou toute fonction non minorée sur ce voisinage ). Alors f n'a pas de limite finie en [tex] +\infty [/tex] .

En ce sens une fonction strictement concave en est un cas particulier.

Alain

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