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romu

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topologie[Résolu]

Bonsoir,

je cherche un exemple d'espace topologique [tex](E,\mathcal{T})[/tex] réunissant ces deux conditions:

1) [tex](E,\mathcal{T})[/tex] admet en chacun de ses points un système fondamental dénombrable de voisinages,

2) [tex](E,\mathcal{T})[/tex] n'est pas à base dénombrable.

Je pensais chercher parmi les espaces non séparables, vu qu'ils ne respectent pas 2).

Mais je ne situe pas vraiment cette classe d'espace.

Je me demandais aussi si  l'ensemble des fonctions continues de [0,1] sur-lui même muni de la topologie de la convergence simple, ou encore muni de la topologie de la convergence de la convergence uniforme sont de tels exemples d'espace non séparables vérifiant la condition 1).

Merci pour vos indications.

Dernière modification par romu (16-10-2007 23:47:28)

Fred

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Re : topologie[Résolu]

Salut,

  Ton idée est bonne. Il suffit de considérer n'importe quel espace métrique (qui vérifie automatiquement 1) qui n'est pas séparable (=> 2). Voici un exemple de tel espace : considère [tex]l^\infty[/tex] l'espace vectoriel des suites bornées munies de
la norme [tex]\|u\|_\infty=sup_n |u_n|[/tex].
  Alors cet espace n'est pas séparable, et pourtant chaque point admet une base dénombrable de voisinages.

Attention! L'espace des fonctions continues sur [0,1] est séparable (l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels est dénombrable et dense dans C([0,1]).

Fred.

romu

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Re : topologie[Résolu]

Bonjour Fred,

effectivement j'avais oublié qu'un espace métrique admet toujours un système de voisinages dénombrable en chacun de ses points.

Merci pour ton exemple, je suppose qu'on munit l'espace vectoriel des suites bornées de la norme sup.
Je vais regarder ça.

Fred

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Re : topologie[Résolu]

Tu as raison.
Il y a juste un pb avec l'affichage des formules tex en ce moment...

Fred.