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#1 01-12-2005 14:41:14

stefouille
Membre
Inscription : 24-10-2005
Messages : 5

Courbes et asymptotes [Résolu]

soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
par f(x)= -x+7+6ln(2x+1)-6ln(2x+2).
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j).

1-justifier que f est définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +00[

2- déterminer la limite de f en -1/2
En déduire que la courbe C admet pour aymptote une droite D dont on précisera l'équation.

3-en remarquant que, pour tout x de l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
6ln(2x+1)-6ln(2x+2)= 6ln [(2x+1)/ (2x+2)]
déterminer la limite de f en +oo.

4- soit D' la droite d'aquation y=-x+7
a/ quelle est la limite de [f(x)-(-x+7)] lorsque x tend vers +oo?
en donner une interprétation graphique.
b/étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D'.

5-a/ Montrer que, pour tout x supérieur à -1/2,
f'(x)=(-2x²-3x+5)/(2x+1)(x+1)
où f' désigne la fonction dérivée de f.
b/étudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de f.

6-soit T la tangente à la courbe C au point M d'abscisse 0.Déterminer une équation de la droite T.

Mes Réponses:
1- f est définie sur l'intervalle ]-1./2 ; +oo[
car f(x) éxiste si et seulement si 2x+1 supérieur à 0 de même pour 2x+2
donc il faut que x soit supérieur à -1/2 et x supérieur à -1. d'ou Df= ]-1/2 ; +oo[.

2- déterminons la limite de f en -1/2:
je ne suis vraiment pas sure!
lim -x+7= 15/2
quand x tend vers -1/2
et lim 6ln *(2x+1)/(2x+2)+ ln 0^6
donc lim f(x) = 15/2 quand x tend vers -1/2.
  pour l'asymptote je n'ai pas trouvé!

3- la limite en +oo c'est -oo car lim -x+7=-oo 6ln (2x+1)/(2x+2)=+oo quand x tend vers +oo.

4- y=-x+7
a/ lim de [f(x)-(-x+7)] quand x tend ver +oo c'est d'après le résultat trouvé précédemment +00 -(-x+7) donc +oo.

b/la position c'est pa rapport à la différence de [f(x)-(-x+7] = 6ln (2x+1)/(2x+2)
le signe est positif donc  C est au dessus de D' sur ]-/2 ; +oo[

2a/ je en trouve pas f'(x)
b/ étudions le signe de f' avec le tableur de variation:
-2x²-3x+5 est une fonction polynome:
cherchons le discriminant :
b²-4ac= (-3)²-4(-2)(5)=49 soit 2racines distincts= x'=1
x"=-4, -4 ne sera pas sur le tableau de variation car il n'appartient pas a Df.
donc f est décroissante sur ]-1/2 ; 1[ et est croissante sur ]1 ; +oo[.(en regardant le tableau)

6- la tangente: formule y= f'(a) (x-a) +f(a)
au point d'abscisse 0 donc y=f'(o)(x-o)+f(o)
calcul de f'(o): f'(o)= (-2*o -3*o+5)/(2*o+1)(o+1)=5
calcul de f(o): f(o)=-o+7+6ln(2*o+1)-6ln(2*o+2)
f(o)=7+ 6ln1 - 6ln2= -6ln2+7 car ln1=o.
donc y=(5)(x-o) + (-6ln2+7)=5x-6ln2+7 je pense pas que se soit sa.
Merci de votre Aide...

Hors ligne

#2 01-12-2005 18:38:38

john
Invité

Re : Courbes et asymptotes [Résolu]

1- OK

2- qd x --> -1/2
ln(2x+1) --> -oo
d'où une asymptote verticale d'éq. x=-1/2

3- la limite en +oo c'est -oo car lim -x+7=-oo
et que ln (2x+1)/(2x+2) --> 0 qd x --> +oo.

4- [f(x)-(-x+7] = 6ln(2x+1)/(2x+2)
tu peux écrire :
ln(2x+1)/(2x+2) = ln(2x+2-1)/(2x+2) = ln(1-1/(2x+2))
or 1/(2x+2) --> 0 qd x --> +oo
il reste ln(1) = 0

A+

#3 26-12-2008 12:22:17

MARIE ANNETTE
Invité

Re : Courbes et asymptotes [Résolu]

Bonjour
As tu conserver la correctiondde cet exercice car j'ai le même aujourd hui et je ne n'arrive pas à comprendre
merci d'avance de ta gentillesse



stefouille a écrit :

soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
par f(x)= -x+7+6ln(2x+1)-6ln(2x+2).
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j).

1-justifier que f est définie sur l'intervalle ]-1/2 ; +00[

2- déterminer la limite de f en -1/2
En déduire que la courbe C admet pour aymptote une droite D dont on précisera l'équation.

3-en remarquant que, pour tout x de l'intervalle ]-1/2 ; +oo[
6ln(2x+1)-6ln(2x+2)= 6ln [(2x+1)/ (2x+2)]
déterminer la limite de f en +oo.

4- soit D' la droite d'aquation y=-x+7
a/ quelle est la limite de [f(x)-(-x+7)] lorsque x tend vers +oo?
en donner une interprétation graphique.
b/étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D'.

5-a/ Montrer que, pour tout x supérieur à -1/2,
f'(x)=(-2x²-3x+5)/(2x+1)(x+1)
où f' désigne la fonction dérivée de f.
b/étudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de f.

6-soit T la tangente à la courbe C au point M d'abscisse 0.Déterminer une équation de la droite T.

Mes Réponses:
1- f est définie sur l'intervalle ]-1./2 ; +oo[
car f(x) éxiste si et seulement si 2x+1 supérieur à 0 de même pour 2x+2
donc il faut que x soit supérieur à -1/2 et x supérieur à -1. d'ou Df= ]-1/2 ; +oo[.

2- déterminons la limite de f en -1/2:
je ne suis vraiment pas sure!
lim -x+7= 15/2
quand x tend vers -1/2
et lim 6ln *(2x+1)/(2x+2)+ ln 0^6
donc lim f(x) = 15/2 quand x tend vers -1/2.
  pour l'asymptote je n'ai pas trouvé!

3- la limite en +oo c'est -oo car lim -x+7=-oo 6ln (2x+1)/(2x+2)=+oo quand x tend vers +oo.

4- y=-x+7
a/ lim de [f(x)-(-x+7)] quand x tend ver +oo c'est d'après le résultat trouvé précédemment +00 -(-x+7) donc +oo.

b/la position c'est pa rapport à la différence de [f(x)-(-x+7] = 6ln (2x+1)/(2x+2)
le signe est positif donc  C est au dessus de D' sur ]-/2 ; +oo[

2a/ je en trouve pas f'(x)
b/ étudions le signe de f' avec le tableur de variation:
-2x²-3x+5 est une fonction polynome:
cherchons le discriminant :
b²-4ac= (-3)²-4(-2)(5)=49 soit 2racines distincts= x'=1
x"=-4, -4 ne sera pas sur le tableau de variation car il n'appartient pas a Df.
donc f est décroissante sur ]-1/2 ; 1[ et est croissante sur ]1 ; +oo[.(en regardant le tableau)

6- la tangente: formule y= f'(a) (x-a) +f(a)
au point d'abscisse 0 donc y=f'(o)(x-o)+f(o)
calcul de f'(o): f'(o)= (-2*o -3*o+5)/(2*o+1)(o+1)=5
calcul de f(o): f(o)=-o+7+6ln(2*o+1)-6ln(2*o+2)
f(o)=7+ 6ln1 - 6ln2= -6ln2+7 car ln1=o.
donc y=(5)(x-o) + (-6ln2+7)=5x-6ln2+7 je pense pas que se soit sa.
Merci de votre Aide...

#4 27-12-2008 13:18:58

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : Courbes et asymptotes [Résolu]

Bonjour Marie Annette,

Où coinces-tu ?
Les 1ere et 2e question sont résolues ci-dessus.

3e question
Pour la limite de f en +oo
Il faut partir comme on t'y invite, de : [tex]f(x)= -x+7+6\ln\left(\frac{2x+1}{2x+2}\right)[/tex]
La limite de -x+7 en +oo, c'est -oo, reste à trouver celle de [tex]\ln\left(\frac{2x+1}{2x+2}\right)[/tex] et donc d'abord celle de  [tex]\frac{2x+1}{2x+2}[/tex] et ça c'est facile...

4e question.
C'est comme ça qu'on prouve l'existence d'une asymptote oblique. Tu dois montrer (cf cours) que f(x)-(-x+7) tend vers 0 quand x tend vers + oo.
Le signe de l'expression te dira alors si la courbe est au-dessus ou au dessous de son asymptote.

5e question.
Là, il vaut mieux réutiliser la forme :[tex]f(x)= -x+7+6\ln(2x+1)-6\ln(2x+2)[/tex], il y a moins de calculs à faire...
La dérivée de U + V + W est U' + V' + W'...
Donc on cherche la dérivée de -x+7,  celle de ln(2x+1) et celle de ln(2x+2).
Les deux dernières dérivées sont du type (ln(U))' = U'/U
C'est aussi facile à faire...
Quant au numérateur de la dérivée -2x²-3x+5, il faut le factoriser.
Soit tu as recours à l'artillerie lourde : discriminant, racines et factorisations, soit tu remarques que 1 est une "solution évidente", donc que l'un des facteurs  est (x-1) et donc l'autre (-2x+b) où il faut trouver b... élémentaire... !
Après tableau de signes avec 4 facteurs, signe de la dérivée et sens de variation...

6e question : Leçon : Le coefficient directeur m de la tangente à la courbe C au point M d'abscisse 0, a pour valeur de la dérivée en x = 0.
Une fois m trouvé, l'équation de la tangente T est : y-f(0) = m(x - 0).

Voilà ! Sera-ce suffisant ? Faut-il éclaircir certains points ? Dans ce cas reviens avec tes calculs...

@+


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