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#1 22-04-2021 17:49:30
- Aygoub
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Dimension du ker
Bonjour tout le monde j'espere que vous allez bien.
J'arrive pas a determiner la dimension du ker de l'application g definie de L(E)---L(E) par g(u)=uof avec f un endomorphisme de E et E un k-e.v de dimension n>=1
Merci
#3 22-04-2021 18:01:13
- Aygoub
- Invité
Re : Dimension du ker
J'ai pas compris ce que tu veux dire par ecrire
#5 23-04-2021 13:58:36
- bridgslam
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Re : Dimension du ker
Vérifier tout de même au préalable que g est bien un endomorphisme de L(E) , même si c'est quasi-immédiat...
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#6 23-04-2021 14:24:50
- bridgslam
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Re : Dimension du ker
En détaillant encore plus ( si nécessaire ) on peut dire plus rigoureusement que:
[tex] Ker(g) \approx L( \; Im(f)^{supp} \; ) \; X \; \{0\} [/tex] , le sous-espace [tex]\{0 \}[/tex] étant celui réduit au seul endomorphisme nul.
D'où la valeur indiquée dans le message précédent, par cet isomorphisme les dimensions des deux membres sont égales.
Attention [tex]Im(f)^{supp}[/tex] n'est pas unique, heureusement ils ont tous la même dimension :-) .
Alain
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#7 23-04-2021 16:16:59
- bridgslam
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Re : Dimension du ker
Soit [tex] S \; un\; supplémentaire\; de\; Im( f)[/tex] .
Si on désigne par [tex]\psi [/tex] l'application de [tex]\mathscr{L}(E)[/tex] dans [tex]\mathscr{L}(Im f ; E)[/tex] x [tex]\mathscr{L}( S; E)[/tex] telle que [tex]\psi( u ) = ( u_{| Im(f) } , u_{|S} ) [/tex] , elle est linéaire,
et alors sa restriction [tex]\psi_{|Ker(g)} [/tex] à [tex]Ker(g) [/tex] est un isomorphisme vers le sous-espace [tex] \{0 \}[/tex] x [tex]\mathscr{L}(S; E) [/tex] ( de [tex]\mathscr{L}(Im f ; E)[/tex] x [tex]\mathscr{L}( S; E)[/tex] ).
Comme la restriction de u à S peut "sortir" de S, la dimension de Ker(g) est celle de [tex]\mathscr{L}(S; E)[/tex] ( et pas [tex]\mathscr{L}(S) [/tex] , ce n'est pas forcément un endomorphisme de S,... mon erreur) et donc ne vaut pas [tex]( n - dim ( im f )^2[/tex] mais bel et bien [tex] n( n - dim ( im f )[/tex], donc un peu plus que la valeur (erronnée) précédente.
On a utilisé les deux faits suivants (en dimension finie) :
[tex]dim( G \; X \; H ) = dim ( G ) + dim( H) \;\;( donc \;vaut \;dim\;( H) \;si \;G \;= \; \{0\} ) [/tex]
[tex]dim \; \mathscr{L} ( G \; ; H ) = dim (G) \; X \; dim ( H )[/tex]
En épilogue ( laborieuse ) [tex]dim Ker(g) \;= \; n( n - dim( Im(f)\;\; ) [/tex]
( je ne doute pas que tout le monde avait trouvé mon erreur :-) )
Désolé, les maths sont impitoyables, comme l'ont toujours été mes amours
Alain
Dernière modification par bridgslam (23-04-2021 16:34:43)
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#8 23-04-2021 17:34:23
- bridgslam
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Re : Dimension du ker
Comme il n'est jamais néfaste de visualiser les choses, par exemple dans [tex]\mathbb{R}^3[/tex], doté d' une base [tex](e_1, e_2, e_3 ) [/tex] prenons pour f (par exemple) le projecteur [tex] p \;sur \; e_1 \;parallèlement \;à \;vect(e_2, e_3) [/tex].
g est alors l'endomorphisme sur [tex]\mathscr{L}( \mathbb{R}^3) [/tex] , donc appartient à [tex]\mathscr{L}( \mathscr{L}( \mathbb{R}^3) ) [/tex] qui envoie un [tex] u \;sur \; u \;o \; p [/tex].
Choisir u dans le noyau de g signifie choisir un endomorphisme, qui est nul en [tex]e_1[/tex] et que sur [tex]vect( e_2, e_3)[/tex] c'est un morphisme absolument quelconque d'un espace de dimension 2 vers [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
Le noyau de cet endomorphisme g est donc de dimension 6 ( = 3( 3-1) ) ( parmi les 9 de [tex]\mathscr{L}( \mathbb{R}^3) [/tex] et, pour le fun 81 de [tex]\mathscr{L}( \mathscr{L}( \mathbb{R}^3) ) [/tex].
Alain
Dernière modification par bridgslam (23-04-2021 18:07:48)
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