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Louis38000

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Variable aléatoire sans densité

Bonjour/Bonsoir tout le monde.

Je me posais une question : existe-t-il une variable aléatoire réelle X telle que P(X=x)=0 pour tout x mais telle que X n'admette pas de densité.
Je me disais qu'une telle variable aléatoire devrait admettre une fonction de répartition continue mais dérivable  presque nul part, sans pour autant que cela soit suffisant.
La question est sans doute bête, mais si quelqu'un avait une idée..:)

Bonne journée / Bonne soirée.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 049

Re : Variable aléatoire sans densité

Bonjour,

  Je pense que c'est possible. Ce qu'il est possible de faire, c'est de construire une mesure de probabilité $\mu$ sur $\mathbb R$ telle que $\mu(\{x\})=0$  pour tout réel $x$ et pourtant $\mu$ n'admet pas de densité par rapport à la mesure de Lebesgue (et même $\mu$  et la mesure de Lebesgue sont mutuellement singulières). On peut alors définir une variable aléatoire dont $\mu$ est la loi, mais je ne me souviens plus comment....

F.