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#1 17-04-2021 12:55:27

Louis38000
Membre
Inscription : 17-04-2021
Messages : 3

Une autre expression de f(x)

Bonjour tout le  monde.

Je cherche à prouver que pour une fonction f continue et bornée, pour [tex]\lambda > 0[/tex] on a la relation :
[tex]\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda n)^k}{k!}f(\frac{k}{n})=f (\lambda)[/tex].

J'ai tenté plusieurs chose comme un changement de variable "naif" [tex]u=\lambda n[/tex], sans arriver à quelque chose d'intéressant.

J'ai aussi exprimé l'expression précédente comme  étant [tex]\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(\frac{X_n}{n})] [/tex] où X_n suit une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda n[/tex] mais je n'arrive pas à arriver au résultat.

En fait, j'arrive mal à voir comment faire apparaitre [tex]f(\lambda)[/tex] dans mon calcul, j'imagine qu'il faut utiliser la continuité de f, mais je reste bloqué très tôt dans mes calculs, je n'arrive pas à trouver la bonne piste.

Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa :).

Bonne journée.

Dernière modification par Louis38000 (17-04-2021 12:56:31)

Hors ligne

#2 17-04-2021 20:30:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Une autre expression de f(x)

Bonjour,

  Sans avoir le temps de creuser, on a l'impression que c'est lié à la convergence en loi de la suite $(X_n/n)$...

F

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#3 18-04-2021 08:14:02

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 297

Re : Une autre expression de f(x)

Bonjour,

A vu de nez ( mais on peut l'écrire explicitement ), on peut toujours écrire que [tex]f(k/n) = f(\lambda) + q(n,k) [/tex]
où la fonction q est aussi bornée par un nombre indépendant de n et k ( puisque lié à la fonction f bornée).
On écrit l'expression générale  pour n fixé avec cela.
En tentant un coup de latex:
 
[tex]e^{-\lambda n } \sum_k (\lambda n )^k / k! \; f(\lambda)  + e^{-\lambda n} \sum_k (\lambda n)^k/ k! \; q(n,k) [/tex].

Pour la somme de droite, la série facteur de l'exponentielle converge vers qque chose (vu la convergence absolue en fait... d'après le caractère borné de q )  qui ne tend pas vers l'infini avec n ( car la borne de |q| est indépendant de n et k), donc si on fait tendre dans un deuxième temps n vers l'infini dans l'expression globale, le terme de droite tend vers 0, tandis que pour celui de gauche on trouve [tex]f(\lambda)[/tex] connaissant l'expression en série entière de l'exponentielle.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#4 18-04-2021 11:26:59

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 297

Re : Une autre expression de f(x)

Bjr,

Néanmoins il faut détailler pour dire pourquoi le terme de droite tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, c'est sans doute la partie délicate je pense.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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#5 18-04-2021 16:08:16

Louis38000
Membre
Inscription : 17-04-2021
Messages : 3

Re : Une autre expression de f(x)

Bonjour, tout d'abord merci pour votre aide.

Cependant, j'ai vraiment du mal à comprendre pourquoi le terme de droite tend vers 0 quand n tend vers l'infini.Le seul résultat qui me semble clair est la convergence de la série q étant bornée, on peut écrire [tex]e^{-\lambda n} \vert \sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda n )^k}{k!}q(n,k)\vert \leq e^{-\lambda n} \sum_{k\geq 0}\vert \frac{(\lambda n )^k}{k!}q(n,k)\vert \leq e^{-\lambda n} A \sum_{k\geq 0}\frac{(\lambda n )^k}{k!} =A[/tex].

Cependant, je n'arrive pas à trouver en quoi une telle majoration peut m'aider à prouver que cette serie tend vers 0 quand n tend vers l'infini ( car A ne dépend pas de n).

J'imagine que l'hypothèse de continuité de f doit être nécessaire selon l'énoncé donc peut-être utilisé le fait que pour tout k, q(n,k) tend vers f(0)-f(lambda) mais je ne vois pas en quoi cela pourrait être utile...

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