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#1 16-04-2021 16:35:38

camyll2606
Membre
Inscription : 16-04-2021
Messages : 1

Probabilité - Variance empirique

Bonjour,

Voici la question à laquelle je n'arrive pas à répondre :

Soit [tex]X_{1},...X_{n}[/tex] un échantillon iid d'une loi normale de moyenne [tex]\mu[/tex] et de variance [tex]\sigma^{2}[/tex]
Soit [tex]M=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}[/tex] la moyenne empirique et [tex]S^{2}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (X_{k} - M)^{2}[/tex].
Je dois déterminer que la variance empirique suit une loi Gamma dont je dois spécifier les paramètres.

Etant donnée que j'ai calculé la fonction génératrice d'une loi Gamma à la question précédente, j'ai voulu calculer la fonction génératrice de la variance empirique pour ensuite identifier la fonction génératrice d'une loi Gamma et trouver ses paramètres. Cependant, je me retrouve avec des variables aléatoires au carré dans mon calcul et je n'arrive plus à avancer.
De plus, je sais que $\frac{nS_{n}^{2}}{\sigma^{2}}$ suit une loi khi carré de degré de liberté $n-1$ mais je ne sais pas comment utiliser ce résultat...

Merci d'avance pour votre aide

Hors ligne

#2 19-04-2021 09:08:06

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Probabilité - Variance empirique

Salut,

si $\dfrac{nS_n^2}{\sigma^2}$ suit la loi $\chi_{n-1}^2$, alors $S_n^2$ suit une autre loi de la forme $\dfrac{\sigma^2\chi_{n-1}^2}{n}$.
As-tu regardé sous cet angle ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#3 20-04-2021 12:11:36

camyll
Invité

Re : Probabilité - Variance empirique

Bonjour,

Effectivement, je n'avais pas vu cet angle là. Grâce à cela, j'ai réussi mon calcul, merci beaucoup !

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