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#1 15-04-2021 20:09:35

maths48
Membre
Inscription : 15-04-2021
Messages : 185

TAF et dérivabilité en un point

Bonsoir,

J'ai une démonstration à faire mais je bloque complètement, je n'arrive à rien.

Voici l'énoncé :
Soient f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I. On suppose que f est dérivable sur I \ {x0} et que sa dérivée f' admet des limites à gauche et à droite en x0 qui sont égales et valent l. En utilisant le théorème des accroissements finis et en revenant à la définition de la dérivabilité, montrer que f est dérivable en x0 et que f'(x0) = l.

J'ai pensé à montrer que f est dérivable en montrant que son taux d'accroissement en x0 admet une limite finie. J'ai essayé cette formule avec x tend vers h mais comme on ne connaît pas la fonction ça ne mène à rien. J'ai écrit le TAF avec x et x0 ce qui est égal à f'(x0) mais je ne vois pas quoi en faire.
Ensuite, l'énoncé nous dit que la dérivée de f est continue en x0. Cela a-t-il un impact sur la façon dont on va montrer que f est dérivable ?

Merci d'avance que tu temps que vous m'accorderez et bonne soirée

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#2 16-04-2021 07:36:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : TAF et dérivabilité en un point

Bonjour,

  Effectivement, dans un exercice aussi théorique, il faut revenir à la définition de la dérivabilité en utilisant le taux d'accroissement.
Que donne le théorème des accroissements finis quand tu l'appliques à f entre $x_0$ et $x_0+h$. Attention! Ce n'est pas $f'(x_0)$ qui apparait. Et effectivement la continuité de la dérivée de $f$ en $x_0$ va jouer un rôle très important...

F

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#3 16-04-2021 19:25:26

maths48
Membre
Inscription : 15-04-2021
Messages : 185

Re : TAF et dérivabilité en un point

Bonsoir, merci de votre réponse!

Effectivement j'ai mélangé deux formules... Le théorème des accroissements finis appliqué à f entre x0 et x0+h donne (f(x0) - f(x0+h))/h = f'(c) avec c appartenant à l'intervalle I dont fait également partie x0.
Sinon, je dois avouer que je ne vois pas encore quel rôle va jouer la continuité de la dérivée de f en x0...

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#4 17-04-2021 08:07:32

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 067

Re : TAF et dérivabilité en un point

Bonjour,
ton idée est bonne mais je vois un problème de symétrie entre le numérateur et le dénominateur dans ton égalité du th des accroissements finis. J'écrirais plutôt $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(c)$ où $c \in ]x_0;x_0+h[$.
On peut ensuite distinguer les cas $h$ positif et négatif, et passer à la limite dans chacun des cas, en exploitant les définitions des dérivées de $f$ à gauche et à droite de $x_0$.
La continuité de la dérivée en $x_0$ permet de conclure.
Tu peux trouver des renseignements utiles sur ce lien :
https://www.math.univ-toulouse.fr/~jgil … _chap3.pdf

Dernière modification par Zebulor (17-04-2021 08:22:24)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#5 17-04-2021 09:05:25

maths48
Membre
Inscription : 15-04-2021
Messages : 185

Re : TAF et dérivabilité en un point

Bonjour, merci de la correction que vous m'avez apporté !

Tout d'abord qu'est-ce que cela veut dire un problème de symétrie numérateur/dénominateur ?

Et ensuite pour le passage à la limite on obtient lim f'(c) à gauche et à droite et c'est à ce moment là qu'on utilise les hypothèses de l'exo c-à-d le taux d'accroissement à gauche et à droite vaut par conséquent l et donc comme le taux d'accroissement de f vaut l à gauche et à droite, elle est dérivable ? C'est bien ça ?

Ensuite il faut montrer que c = x0 ?

Merci encore

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#6 17-04-2021 10:23:08

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 067

Re : TAF et dérivabilité en un point

re,
de symétrie c'est à dire l'égalité du th des accroissements finis est : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ où $c \in ]a;b[$ et non $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=f'(c)$ comme tu l'as écris.

maths48 a écrit :

Et ensuite pour le passage à la limite on obtient lim f'(c) à gauche et à droite et c'est à ce moment là qu'on utilise les hypothèses de l'exo c-à-d le taux d'accroissement à gauche et à droite vaut par conséquent l et donc comme le taux d'accroissement de f vaut l à gauche et à droite, elle est dérivable ? C'est bien ça ?

Oui !
Sans vouloir te donner la réponse directement :
Il faut encore en revenir aux définitions : le taux d'accroissement à droite de $x_0$ vaut $l$ ce qui se traduit par une égalité sur une limite : égalité (1)
Idem pour le taux d'accroissement à gauche : égalité (2)

Comme ils sont égaux tu peux en déduire une égalité (3) traduisant que $f$ est dérivable en $x_0$ parce que $l$ est fini. Et par définition cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$. D'où les valeurs de $l$ et de $c$...
Dans la dernière égalité (3) $h$ tend vers 0 par valeurs inférieures ou supérieures indifféremment.

Le contre exemple de la fonction valeur absolue $g$ en 0 est cité dans le lien que j'ai mis.. Dans ce cas $\lim\limits_{h \to 0} \frac {g(h)-g(0)}{h}$ n'existe pas parce que même si $\lim\limits_{h \to {0-}} \frac {g(h)-g(0)}{h}$ et $\lim\limits_{h \to {0+}} \frac {g(h)-g(0)}{h}$ existent et sont finies (-1 et 1) elles ne sont pas égales : le graphe de la fonction n'est pas lissé en $0$. D'où la non dérivabilité en ce point.

Dernière modification par Zebulor (17-04-2021 13:47:17)


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#7 17-04-2021 14:06:30

maths48
Membre
Inscription : 15-04-2021
Messages : 185

Re : TAF et dérivabilité en un point

Merci pour toutes ces précisions! Cet exo qui avait l'air obscure se révèle limpide maintenant!

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