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Zarathoustram

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Espérance et probabilité d'une variable aléatoire à plusieurs dimensio

Bonjour à tous et à toutes !

Dans les cours (L3 de mathématiques fondamentales), nous avons:

Définition: Pour $X = (X_1, \ldots, X_d) \in \mathbb{R}^d$ une variable à valeurs dans $\mathbb{R}^d$, on définit $\mathbb{E}
(X) = (\mathbb{E} (X_1), \ldots, \mathbb{E} (X_d))$.

Proposition: Si $X = \chi_F$, on a $\mathbb{E} (X) =\mathbb{P}_X (F)$, avec $\chi_F$ la fonction indicatrice en $F$.

J'interprète la proposition comme : Si $f = \chi_F$, on a $\mathbb{E} (f
(X)) =\mathbb{P}_X (F)$.

Donc pour $F = (F_1, \ldots, F_d) \subset \mathbb{R}^d$ et $f :
\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ définie par $f (x_1, \ldots, x_d) =
(\chi_{F_1} (x_1), \ldots, \chi_{F_d} (x_d))$,
on a $\mathbb{P}_X (F) =\mathbb{E} (f (X)) = (\mathbb{E} (\chi_{F_1} (X_1)), \ldots, \mathbb{E}
(\chi_{F_d} (X_d))) = (\mathbb{P}_{X_1} (F_1), \ldots, \mathbb{P}_{X_d} (F_d))
\in \mathbb{R}^d$ ?!

Normalement, une probabilité est à valeurs dans $[0, 1]$ et pas dans $\mathbb{R}^d$ (ni même dans $[0, 1]^d$)

En fait, même si la première égalité est fausse (que la proposition est valable pour $X$ une variable aléatoire réelle), je trouve ça étrange que l'espérence soit à valeurs dans $\mathbb{R}^d$. Pourriez-vous me dire où est-ce que je me suis planté ?

Plus généralement, je cherche à calculer la probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^d$. Dans les démonstrations du cours (un peu plus tard), il est écrit que:
$\mathbb{E} \left( \prod_{i = 1}^n f_i (X_i) \right) = \int_E \prod_{i = 1}^n
f_i (x_i) d\mathbb{P}_{X_1} (x_1) \ldots d\mathbb{P}_{X_d} (x_d)$ avec $E =
E_1 \times \ldots \times E_d$.
Ici, on a bien $\prod_{i = 1}^n f_i (x_i) = f_1 (x_1) .f_2 (x_2) \ldots f_d(x_d)$ ?

Si cette dernière égalité est correcte, j'ai l'impression que ça contredit la définition de l'espérance d'une variable aléatoire en plusieurs dimensions, parce que pour les f égales à l'identité, on retrouve l'espérance et on a $\mathbb{E} (X) = \int_{\mathbb{R}^d} \prod_{i = 1}^n x_i d\mathbb{P}_{X_1}
(x_1) \ldots d\mathbb{P}_{X_d} (x_d)$.

Contexte de la démonstration:
$\mathbb{P}_X = \otimes_{i = 1}^n
\mathbb{P}_{X_i}$ si et seulement si pour tout $f_i$, mesurables sur $(E_i, \epsilon_i)$, $\mathbb{E} \left( \prod_{i = 1}^n f_i (X_i) \right) = \prod_{i = 1}^n
\mathbb{E} (f_i (X_i))$ (si et seulement si $X_1, \ldots, X_n$ sont
indépendants).

En vous remerciant d'avance pour votre aide.

Dernière modification par Zarathoustram (08-04-2021 09:29:29)

Fred

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Messages : 7 047

Re : Espérance et probabilité d'une variable aléatoire à plusieurs dimensio

Dans le cours (L3 de mathématiques fondamentales), nous avons:

Définition: Pour $X = (X_1, \ldots, X_d) \in \mathbb{R}^d$ une variable à valeurs dans $\mathbb{R}^d$, on définit $\mathbb{E}
(X) = (\mathbb{E} (X_1), \ldots, \mathbb{E} (X_d))$.

Proposition: Si $X = \chi_F$, on a $\mathbb{E} (X) =\mathbb{P}_X (F)$, avec $\chi_F$ la fonction indicatrice en $F$.

J'interprète la proposition comme : Si $f = \chi_F$, on a $\mathbb{E} (f
(X)) =\mathbb{P}_X (F)$.

Donc pour $F = (F_1, \ldots, F_d) \subset \mathbb{R}^d$ et $f :
\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ définie par $f (x_1, \ldots, x_d) =
(\chi_{F_1} (x_1), \ldots, \chi_{F_d} (x_d))$,

Si tu veux que $f=\chi_F$, cette dernière ligne est fausse. On a $f(x_1, \ldots, x_d) =
\chi_{F_1} (x_1) \times \cdots \times \chi_{F_d} (x_d)$.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 16 988

Re : Espérance et probabilité d'une variable aléatoire à plusieurs dimensio

Bonsoir,

Et bien...
dans les cours (L3 de mathématiques fondamentales) Règles de Bibmath, nous avons :

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En cas d'oubli (!), un modérateur (ou l'Administrateur) répondrait en vous incitant à reformuler votre question, fermerait la discussion, et passé un délai de quelques jours, la supprimerait.

  La perte de temps pour se concentrer sur l'essentiel n'est pas un argument recevable : il y a un maximum d'une trentaine de caractères supplémentaires à taper, soit au pire 4/5 s de "perdues"... Les personnes qui vous répondent prennent sur leur temps libre et méritent donc un minimum d'égards et considération.

Au cas, où tu aurais "oublié" (encore ?!) d'aller les consulter, tu as ceci sous les yeux :

Tu n'es - hélas - pas le premier et je suis toujours sidéré qu'à un tel niveau on fasse si peu de cas des usages élémentaires dans les rapports sociaux.

Paraphrasant ainsi Nietzsche, j'en terminerai en disant :

Hetchetu welo

       Yoshi
- Modérateur -

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Zarathoustram

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Messages : 28

Re : Espérance et probabilité d'une variable aléatoire à plusieurs dimensio

Je te remercie Fred, je crois que c'est bien ça qui m'a contrarié hier. Donc on a:
$\mathbb{P}_X (F) =\mathbb{E} \left( \prod_{i = 1}^n \chi_{F_i} (x_i) \right)
= \int_F d\mathbb{P}_X = \prod_{i = 1}^n \int_{F_i} d\mathbb{P}_{X_i}$
avec la dernière égalité si et seulement si les $X_i$ sont indépendant, avec le théorème de Fubini-Tonnelier, c'est ça ?

Je pense avoir compris pour le reste, si c'est bien ça.

Et désolé Yoshi, je comprends ta sidération, d'autant que je suis le premier à reprocher ce genre de chose. J'étais simplement trop concentré, ce qui, je l'entends bien, n'excuse pas mon écart.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Espérance et probabilité d'une variable aléatoire à plusieurs dimensio

Oui je crois que c'est cela