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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 02-03-2021 14:06:20
- Vazquez
- Invité
Centre de gravité d'un triangle et projeté orthogonal
Bonjour,
Voici un extrait d'un sujet de TD d'algèbre portant sur la géométrie dans l'espace.
"L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, i, j, k).
On considère le plan P d'équation 2x + y - 2z = 0 et les points A de coordonnées (3, 2, 6), B de coordonnées (1, 2, 4) et C de coordonnées (4, -2, 5).
1.
a) Montrer que les points A, B et C définissent bien un plan.
b) Vérifier que ce plan est le plan P.
2.
a) Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b) Écrire un système d'équations paramétriques de la droite D passant par O et perpendiculaire au plan P.
c) Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK.
d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.
3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés : S = {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
a) Vérifier que ce système admet un barycentre, que l'on notera G.
b) On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).
c) Déterminer la distance G au plan P.
Le prof a résolu la question 3. c) en calculant la distance entre le point G et le plan P.
Or, je trouve la même réponse en utilisant le système de barycentre de la question b) en utilisant le point I comme point quelconque. Ensuite je suppose que le point I est le point K issu de la question 2. c).
Voici, une photo qui illustre ce que j'ai affirmé.
Schéma si K=1
Évidemment, le prof m'a demandé de le démontrer car même lui n'y arrivait pas. J'ai beau me casser la tête je ne trouve aucune démonstration satisfaisante et je commence à penser que ce n'est qu'un simple coup de chance. Est-ce que quelqu'un y arriverait ?
J'ai toutes les réponses du TD si quelqu'un en aurait besoin je peux les publiées sans soucis.
Merci de votre aide.
Dernière modification par yoshi (02-03-2021 16:46:27)
#2 02-03-2021 15:38:25
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 565
Re : Centre de gravité d'un triangle et projeté orthogonal
Bonjour,
J'ai commencé à regarder les premières questions et dès le début je remarque que A n'appartient pas au plan. P.
Ou est l'erreur d'énoncé ?
L'image que tu as voulu ajouter n'apparait pas.
En lisant très rapidement l'énoncé, je répondrai à la dernière question de la façon suivante (je donne juste des idées, à toi de voir si ça te convient) :
a/ par associativité des barycentres, G est le milieu de [OI]
b/ par le théorème de Thalès (dans le triangle OKI), la distance de G au plan P vaut la moitié de la distance O au plan P (qui a été calculée avant).
Roro.
Dernière modification par Roro (02-03-2021 15:49:40)
Hors ligne
#4 02-03-2021 16:49:20
- Vazquez
- Invité
Re : Centre de gravité d'un triangle et projeté orthogonal
Bonjour,
J'ai commencé à regarder les premières questions et dès le début je remarque que A n'appartient pas au plan. P.
Ou est l'erreur d'énoncé ?L'image que tu as voulu ajouter n'apparait pas.
En lisant très rapidement l'énoncé, je répondrai à la dernière question de la façon suivante (je donne juste des idées, à toi de voir si ça te convient) :
a/ par associativité des barycentres, G est le milieu de [OI]
b/ par le théorème de Thalès (dans le triangle OKI), la distance de G au plan P vaut la moitié de la distance O au plan P (qui a été calculée avant).Roro.
Bonjour et merci de votre réponse.
Effectivement c'est une erreur de ma part le plan P a pour équation 2x + y - 2z + 4 = 0.
Concernant l'image avec clic droit, ouvrir moi ça fonctionne sinon je met le lien ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentr … centre.png:
En fait mon but et de démontrer que K = I, du coup le triangle OKI n'est pas censé exister. J'ai essayé de montrer que les distances entre points A, B et C avec les points K et I sont égales mais je n'y parvient pas.