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tima ML

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DEVELOPPEMENTS LIMITés

bonsoir,veuillez svp me donner un coup de main a propos de cet exercices
l'enonce" donner le DL(0) a l'ordre 10 de f(x)=1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5) . En deduire le nombre de solutions dans N de l'equation a+2b+5c=10 "
j,ai essayer de faire la somme apres avoir effectuer le DL mais ça ne fonctionne pas .
Et merci d'avance

Roro

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Re : DEVELOPPEMENTS LIMITés

Bonsoir,

Pour ce type d'exercice, il y a une "astuce", plus exactement une façon de voir comment écrire le développement d'un produit. Je m'explique :
Tu dois savoir que le développement limité en $0$ à l'ordre 10 de $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1-x}$ s'écrit sous la forme
$$\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{a=0}^{10} x^a + o(x^{10}).$$
De la même façon, celui de $\displaystyle g(x) = \frac{1}{1-x^2}$ est
$$\displaystyle \frac{1}{1-x^2} = \sum_{b=0}^{5} x^{2b} + o(x^{10}),$$
et celui de $\displaystyle h(x) = \frac{1}{1-x^5}$ est
$$\displaystyle \frac{1}{1-x^5} = \sum_{c=0}^{2} x^{5c} + o(x^{10}).$$
J'imagine que pour calculer le développement de ta fonction (qui est le produit fgh), tu as tout développé à la main et obtenu un truc de la forme :
$$\displaystyle \frac{1}{(1-x)(1-x²)(1-x^5)} = \sum_{k=0}^{10} \alpha_k x^k + o(x^{10}). \qquad (1)$$
En fait, il y a une seconde façon de voir ce produit (sans vraiment le calculer) :
$$\displaystyle \frac{1}{(1-x)(1-x²)(1-x^5)} = f(x)g(x)h(x) = \left( \sum_{a=0}^{10} x^a \right)  \left( \sum_{b=0}^{5} x^{2b} \right) \left( \sum_{c=0}^{2} x^{5c} \right) + o(x^{10}).$$
Autrement dit :
$$\displaystyle \frac{1}{(1-x)(1-x²)(1-x^5)} = \sum_{a=0}^{10} \sum_{b=0}^{5} \sum_{c=0}^{2} x^{a+2b+5c} + o(x^{10}).\qquad (2)$$
L'idée maintenant est de comparer les deux façons de faire (1) et (2) pour répondre à ta question... je te laisse absorber tout ça et essayer de répondre !

Roro.

Dernière modification par Roro (25-02-2021 22:49:32)

tima ML

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Re : DEVELOPPEMENTS LIMITés

Merci pour l'aide
J'ai essaye pour la 2 formule mais je n'arrive pas a calculer cette somme sum a=0 ^ 10 sum b=0 ^ 5 sum c=0 ^ 2 x^ a+2b+5c  de sorte qu'elle me donne  une expression de la forme   sum k=0 ^ 10 Ck x ^ k

Roro

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Re : DEVELOPPEMENTS LIMITés

Bonjour,

J'ai a peu près tout fait dans cet exercice alors c'est compliqué de te donner la seule chose qui te manque...
Regarde attentivement l'égalité suivante :
$$\sum_{a=0}^{10} \sum_{b=0}^{5} \sum_{c=0}^{2} x^{a+2b+5c} = \sum_{k=0}^{10} \alpha_k x^k$$.
Si tu vois bien ce que je veux dire, tu dois pouvoir voir combien il y a de façons d'obtenir $x^{10}$ dans l'expression de gauche ! et ça devra correspondre à $\alpha_{10}$ que tu as calculé dans l'expression de droite.

Roro.

P.S. Essaye d'utiliser le Latex pour écrire les formules, ce sera lisible...