Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 24-02-2021 20:05:51
- Lili066
- Membre
- Inscription : 07-02-2021
- Messages : 21
Changement de base / applications linéaires
Bonjour à tous !
Je m'entraîne sur un exercice de changement de bases, sur des applications linéaires. J'ai bien avancé, mais je bloque sur la dernière question. Voici le sujet ainsi que mes réponses :
ps : pour les premières questions je ne mets pas toutes les démarches, car je pense avoir juste
On appelle [tex]B=(\vec{e_1}, \vec{e_2} )[/tex] la base canonique de [tex]R^{2}[/tex] et B' la base formée des vecteurs [tex]\vec{e'_1}=(1,3), \vec{e'_2}=(1,2).[/tex]
Soit [tex]\vec{u}[/tex] un vecteur de [tex]R^{2}[/tex]. On note (x,y) ses coordonnées dans B et (X,Y) ses coordonnées dans B'.
Soit [tex]B=(\vec{e_1}, \vec{e_2} )[/tex][tex]f : \left\lbrace\begin{matrix} R^{2} \rightarrow R^{2}& \\ (x,y) \rightarrow (4x-y,6x-y) & \end{matrix}\right.[/tex]
On notera U et V les vecteurs colonne représentant [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]f(\vec{u})[/tex] dans la base B.
On notera U' et V' les vecteurs colonne représentant [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]f(\vec{u})[/tex] dans la base B'.
i) Changement de base d'un vecteur :
a) Déterminer la matrice de passage P, de B à B'.
[tex]P_{B\rightarrow B'} =\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1\\ 3& 2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
b) En déduire la matrice de passage de B’ à B.
[tex]P_{B'\rightarrow B}=P^{-1}= \bigl(\begin{smallmatrix} -2 & 1\\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
c) Soit [tex]\vec{u}[/tex] de coordonnées (x = 2, y = 5) dans B. Déterminer ses coordonnées (X,Y) dans B’.
[tex]U' = P^{-1}.U=\bigl(\begin{smallmatrix} -2 &1 \\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 2\\ 5 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1\\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
ii) Représentation matricielle de f :
a) Déterminer A, représentation matricielle de f dans la base B.
[tex]A=M_{BB'}(f)=\bigl(\begin{smallmatrix} 4 & -1 \\ 6&-1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
b) Calculer V et f([tex]\vec{u}[/tex]) de deux méthodes : analytique ou matricielle.
[tex]M_{B'}(\vec{v})=M_{BB'}(f).M_{B}(\vec{v}) = \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
iii) Changement de base de f :
a) Déterminer A′, représentation matricielle de f dans la base B′.
[tex]A'=P^{-1}.A.P = \bigl(\begin{smallmatrix} -2 &1 \\ 3& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 4 &-1 \\ 6& -1 \end{smallmatrix}\bigr) . \bigl(\begin{smallmatrix} 1 &1 \\ 3& 2 \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 &0 \\ 0& 2 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
b) Déterminer V’.
c) Justifier que V et V’ représentent bien le même f([tex]\vec{u}[/tex]) .
C'est à partir de ces deux questions que j'ai un doute, je pense avoir mal compris quelque chose. Pour la b, je pense peut-être à faire :
[tex]V'=A'.\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 14 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
Mais je ne sais pas si c'est juste, et je n'arrive pas à "voir" la logique qui permet de répondre à la question c).
Dernière modification par Lili066 (24-02-2021 23:55:06)
Hors ligne
#4 25-02-2021 11:05:11
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Changement de base / applications linéaires
Bonjour,
Je vais quand même reprendre quelques points que tu as écris.
a) Déterminer A, représentation matricielle de f dans la base B.
[tex]A=M_{BB'}(f)=\bigl(\begin{smallmatrix} 4 & -1 \\ 6&-1 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
Je ne comprends pas pourquoi tu écris $M_{BB'}(f)$. Il s'agit de $M_{BB}(f)$, la matrice de $f$ dans la base B au départ et à l'arrivée.
b) Calculer V et f([tex]\vec{u}[/tex]) de deux méthodes : analytique ou matricielle.
[tex]M_{B'}(\vec{v})=M_{BB'}(f).M_{B}(\vec{v}) = \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
Ici aussi, on a $V=M_B(f(\vec {u}))$ : $V$ est le vecteur colonne des coordonnées de $f(\vec {u})$ dans la base $B$.
Et la relation est $V=M_B(f(\vec {u}))=M_{BB}(f) M_B(\vec{u})$.
b) Déterminer V’.
c) Justifier que V et V’ représentent bien le même f([tex]\vec{u}[/tex]) .C'est à partir de ces deux questions que j'ai un doute, je pense avoir mal compris quelque chose. Pour la b, je pense peut-être à faire :
[tex]V'=A'.\bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 7 \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl(\begin{smallmatrix} 3\\ 14 \end{smallmatrix}\bigr)[/tex]
Mais je ne sais pas si c'est juste, et je n'arrive pas à "voir" la logique qui permet de répondre à la question c).
Non, ce n'est pas juste. La relation que tu fois utiliser est la même que celle de la question (i)(b), mais avec la base $B'$ : à savoir
$V'=M_{B'}(f(\vec {u}))=M_{B'B'}(f) M_B'(\vec{u})$ c'est-à-dire $V'=A'U'$.
Hors ligne