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#1 20-02-2021 12:11:52

Louane112
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Les suites

Bonjour à tous, je bloque sur un exercice sur les suites.
Enoncé :
On considère la suite u définie sur N par u0 = 3 et, pour tout entier n, un+1 = 2/1+un

1) A l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de cette suite et sa limite éventuelle.

2) calculer u1 et u2. Cette suite est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier.

3) On admet que u est positive et on considère la suite v définir sur N par :

vn = 1 - (3/un + 2)

a. Calculer les premiers termes de v puis conjecturer la nature de la suite v. Démontrer cette conjecture.
b. En déduire une expression de vn en fonction de n.
c. Justifier que pour tout n entier naturel :

un = (3/(1-vn)) - 2

En déduire une expression de vn en fonction de n. Justifier alors que u est bien une suite convergente.

Aides :
3)a. Pour montrer que v est géométrique, on calcule, pour tout n entier naturel, l'expression de vn+1 en fonction de un+1 puis on exploite la relation de récurrence de u. L'objectif à terme est d'aboutir à une relation du type vn+1 = q * vn où q est la constance conjecturée.
3)b. Vu que v est géométrique, on sait exprimer son terme général vn en fonction de v0 et n.
3)c. On peut ici facilement isoler un dans vn = 1 - (3/un + 2)

Voilà ! C'est tout l'énoncé. J'ai réussi à tout résoudre sauf pour la dernière question : la c de la 3.
J'ai réussi à justifier que pour tout n on a
un = (3/(1-vn)) - 2
Mais je ne vois pas du tout pourquoi on nous redemande d'exprimer vn en fonction de n alors qu'on l'avait déjà fait auparavant. Et surtout je ne vois pas du tout comment justifier que u est convergente (nous n'avons pas vu cette notion même si je la comprend.

Merci d’avance pour vos réponses.

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#2 20-02-2021 12:40:27

Chlore au quinoa
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Re : Les suites

Coucou !

Première remarque que notre modérateur @yoshi va apprécier : attention à la priorité des opérations !

Tu as écrit au début $u_{n+1}=\dfrac{2}{1}+u_n$ alors que je suppose que c'est plutôt $\dfrac{2}{1+u_n}$

Si tu n'as pas envie d'utiliser LaTeX (grossière erreur !), mets des parenthèses comme ceci : 2/(1+un) ;)

Le but de ton exercice est d'étudier le comportement de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Pour cela, l'énoncé introduit une suite auxiliaire $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui est beaucoup plus facile à étudier, car elle est géométrique.
Tu calcules donc $v_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, et ensuite tu exprimes $u_n$ en fonction de $v_n$. Cela te permet d'en déduire une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Tu suis ? Comme ça tu peux calculer chaque terme de $u_n$ sans avoir besoin des précédents.

Ensuite la notion de convergence pour les suite veut dire "la suite à partir d'un moment va se rapprocher de plus en plus d'une valeur", valeur appelée limite. Par exemple la suite définie par $x_n=\dfrac{1}{n+1}$ va se rapprocher de plus en plus de $0$, on dit qu'elle converge vers $0$.

N'hésite pas à poser des questions !

Adam.

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 12:41:02)


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J. von Neumann

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#3 20-02-2021 13:46:59

Louane112
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Re : Les suites

En fait je voudrais vraiment utiliser LaTeX car essayer d’écrire la formule des suites avec des parenthèses ce n’est pas très pratique x) Mais je ne sais pas comment faire.
Ah d’accord je comprends mieux pourquoi on étudie la suite v et je comprends aussi mieux la notion de convergence.
Mais je ne comprends toujours pas pourquoi on me redemande d’exprimer vn en fonction de n dans la question 3) c. puisqu’on la déjà fait dans la question 3) b.
Et aussi, quand on nous demande de justifier que u est convergente, je ne vois pas trop comment le justifier (je sais que si on regarde le comportement de la suite u sur la calculatrice on peut le conjecturer mais ce ne sera pas suffisant j’imagine pour le justifier).

Dernière modification par Louane112 (20-02-2021 17:20:47)

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#4 20-02-2021 15:20:08

Chlore au quinoa
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Re : Les suites

Pour Latex regarde ce que yoshi a rédigé ! http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943 Guide complet.

AAAHHH je viens de voir ! Il faut exprimer $\color{orange}u_n$ en fonction de $n$ pas $v_n$ !

Que trouves-tu comme expression ?

Adam


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#5 20-02-2021 15:21:11

yoshi
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Re : Les suites

Bonjour,

En fait je voudrais vraiment utilisé LaTeX car essayer d’écrire la formule des suites avec des parenthèses ce n’est pas très pratique x) Mais je ne sais pas comment faire.

Louable intention ! N'as-tu pas vu ce lien ? En bas à gauche sous la fenêtre de rédaction des messages : Code Latex...
Exemple. Toi tu écris :
vn = 1 - (3/un + 2)  Là encore, comment peut-on savoir avec certitude  si tu n'as pas voulu écrire vn = 1 - 3/(un + 2)...
Si tu codes en Latex, tu as donc 2 écritures :
*  v_n=1-\left(\frac{3}{u_n}\right)   :  j'ajoute un dollar de chaque côté et voilà ---> $v_n=1-\left(\dfrac{3}{u_n}+2\right)$
    N-B : les parenthèses sont bien ( et ),n les mots-clés \left et \right font qu'elle prennent la bonne taille pour que ce soit... esthétique !
et :
* v_n = 1 - \dfrac{3}{u_n + 2}        :  j'ajoute un dollar de chaque côté et voilà ---> $v_n=1-\dfrac{3}{u_n+2}$

Et là, en cours de rédaction de ton message, en cliquant sur Prévisualisation, tu vois immédiatement grâce à Latex quelle est la bonne écriture... Gain de temps pour nous et par ricochet pour toi...

Un dernier mot : tous les mots clés sont préfixés avec l'anti-slash \

Courage, il n'y a que les premiers pas qui coûtent !

@+

[EDIT] Nan ! Pas guide complet :  je dis toujours qu'il y a là de quoi mettre le pied à l'étrier... Restons modeste et conscient de ce ce guide reste relativement succinct... Mais, merci Chlore au quinoa, c'est gentil !

Dernière modification par yoshi (20-02-2021 15:24:54)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 20-02-2021 15:29:09

Chlore au quinoa
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Re : Les suites

[EDIT] Nan ! Pas guide complet :  je dis toujours qu'il y a là de quoi mettre le pied à l'étrier... Restons modeste et conscient de ce ce guide reste relativement succinct... Mais, merci Chlore au quinoa, c'est gentil !

C'est pour appâter le client ! La page wiki est BEAUCOUP plus complète c'est sûr, mais quand on la voit on se sent submergé, et avec raison !


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#7 20-02-2021 17:17:51

Louane112
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Re : Les suites

Merci beaucoup pour toutes ses indications, je vais essayer de commencer à écrire à l’aide de LaTeX.
Je ne sais pas si je me trompe mais l’énoncé parle bien de la suite $v$ et non de la suite $u$ (ce qui me paraît bizarre. Mais bon, il demande bien d’exprimer une nouvelle fois $v$ en fonction de n puis de justifier que $u$ est convergente (toujours dans la question 3)c.)

Dernière modification par Louane112 (20-02-2021 17:21:19)

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#8 20-02-2021 17:35:03

Chlore au quinoa
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Re : Les suites

Oui, c'est une erreur d'énoncé, il y est écrit $v_n$ au lieu de $u_n$.

Tu dois bien exprimer $u_n$ en fonction de $n$, une fois chose faite je t'aiderai à montrer la convergence.

Adam


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J. von Neumann

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#9 20-02-2021 18:30:33

Louane112
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Re : Les suites

D’accord et bien j’ai l’expression de $v_n$ suivante (trouvée précédemment) :
$v_n$ = $(\frac{2}{5}) * (\frac{-1}{2})^n$

Et l’expression de $u_n$ suivante :

$u_n$ = $\left(\frac{3}{1-v_n}\right)-2$

Donc j’obtiens :
$u_n$ = $\left(\frac{3}{1-((\frac{2}{5}) * (\frac{-1}{2})^n)}\right)-2$

Désolée si l’écriture n’est pas parfaite x)

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#10 20-02-2021 21:31:39

yoshi
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Re : Les suites

Bonsoir,

La multiplication, c'est le mot-clé \times.
Pour une première fois, c'est vraiment très bien !

J'aurais écrit :
v_n=\dfrac{2}{5} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n avec  un dollar au début et un à la fin  de la formule : $v_n=\dfrac{2}{5} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$
(inutile d'en mettre dans la formule)

Et l’expression de $u_n$ suivante :

u_n =\frac{3}{1-v_n}-2 (parenthèses inutile grâce à la priorité des opérations)  $u_n =\dfrac{3}{1-v_n}-2$

Donc j’obtiens :
u_n= \dfrac{3}{1-\frac{2}{5} \times  \left(\frac{-1}{2}\right)^n}-2   --> $u_n= \dfrac{3}{1-\frac{2}{5} \times  \left(-\frac{1}{2}\right)^n}-2 $
Tu peux voir la différence entre \frac et \dfrac qui donne des fractions plus grosses... mais qui tiennent plus de place.

Mais chapeau ! Je dédie ton premier jet à tous ceux qui  ne se lancent pas  parce que c'est trop difficile !

@+


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#11 20-02-2021 23:40:30

Chlore au quinoa
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Re : Les suites

Re,


Déjà bravo pour LaTeX ! Premier essai plutôt très prometteur ;)

Ensuite ton expression de $u_n$ me paraît correcte, elle est probablement simplifiable mais ce n'est pas important.

La convergence s'étudie quand $n$ devient très grand, on dit quand  " $n$ tend vers l'infini" et on écrit $n\to +\infty$.

Dans ton expression de $u_n$, tu n'as qu'un seul terme qui dépend de $n$. À ton avis quand $n\to +\infty$, vers quoi va tendre $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ ?

Adam


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#12 21-02-2021 12:02:36

Louane112
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Re : Les suites

Bonjour,
Merci une nouvelle fois pour toutes ces informations et tous ces encouragements pour LaTeX, il faut dire que c'est très bien expliqué :)
A mon avis, lorsque $n →+∞$
On a $\left(\dfrac{-1}{2}\right)^n$ qui tend vers 0 ? (j'ai fait des tests à la calculatrice).

Dernière modification par Louane112 (21-02-2021 12:05:04)

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#13 21-02-2021 13:25:58

Chlore au quinoa
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Re : Les suites

Oui c'est vrai ! Tu peux le sentir même sans calculatrice : les premiers termes sont :

$1,\,-\frac{1}{2},\,\frac14,\,-\frac18,\,\frac1 {16}...$ on voit bien que ça diminue en valeur absolue et qu'on se rapproche de $0$.

Tu peux représenter graphiquement l'évolution et ça donne en gros ça.

Vu que ce terme tend vers $0$, à ton avis vers quoi va tendre $u_n$ ?


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J. von Neumann

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#14 21-02-2021 13:43:39

Louane112
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Re : Les suites

$\frac{2}{5} \times \left(\frac{-1}{2}\right)^n$ va donc tendre vers 0 et par conséquent, le dénominateur $1-\frac{2}{5} \times \left(\frac{-1}{2}\right)^n$ de la fraction va tendre vers 1.

Puis, si on met au même dénominateur, on obtient : $\dfrac{3-2}{1}$ donc $\dfrac{1}{1}$

L'expression de $u_n$ tend donc au final vers 1 (ce que vous aviez dit au début).

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