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#1 16-02-2021 15:45:48

kadaide
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equadiffs du premier ordre

Bonjour,

J'ai cherché sur internet des problèmes à résoudre qui sont modélisés par des équations différentielles du premier ordre (terminale math) et j'ai rien trouvé.
Quelqu'un pourrait-il m'indiquer des liens ou tout simplement m'en donner des énoncés.

Merci d'avance.

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#2 16-02-2021 16:31:38

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

Hello !

Que ta demande soit exaucée ! J'ai :

►décharge d'un condensateur dans un RC-série mais hors-programme en terminale de mémoire... Mais bon pour l'énoncé, c'est

$\dfrac{\text{d}q}{\text{d}t} + \dfrac{q}{RC}=0$ avec $q$ la chrage du condensateur. Évolution ? Courbe ?


►Chute libre avec frottements : Objet lâché à une altitude $h$ et une vitesse initiale $v_0$, soumis à son poids et à une force de frottements fluides $\vec f = -\alpha \vec v$
Évolution de $\vec v$ ? Courbe ?

►Un problème de physique simplifié sur l'expérience de Milikan:

On considère une gouttelette d'huile de masse $m$, de rayon $r$, de charge $q$ soumise aux forces suivantes :

-le poids $m\vec g$

-la résistance de l'air au mouvement, proportionnelle à la vitesse $ v$ et donnée par la formule de Stokes : $-6\pi\eta r \vec{v}$ où $\eta$ est le coefficient de viscosité de l'air.

Détermination de $v(t)$ en fonction de $v_0$ ?

Je dois pouvoir en trouver quelques autres. Si tu m'autorises à introduire des équadiffs d’ordre 2 là on pourra parler, tout ce qui est oscillatoire en physique voit ceci apparaître...

Bon courage, hésite pas à partager tes réponses ou tes questions ici.

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (16-02-2021 16:32:20)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 16-02-2021 17:20:44

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

Merci pour ta réponse.
J

e dois pouvoir en trouver quelques autres. Si tu m'autorises à introduire des équadiffs d’ordre 2 là on pourra parler, tout ce qui est oscillatoire en physique voit ceci apparaître...

Non, il faut que je maitrise d'abord le premier ordre puis on verra pour le second.
Je vais essayer de faire les exos.

Au passage, il y a aussi sur les cultures des bactéries et ainsi de suite mais c'est juste un élève qui me l'a dit.

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#4 16-02-2021 18:04:43

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

q'+q/(rc)=0

donc q(t)=k*exp(-1/(rc)t
A 'instant t=0, q=0
donc 0=k*exp(0)=k
donc k=0
là je ne comprends pas !

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#5 16-02-2021 20:18:50

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

Bien pour la résolution, moins bien pour la conclusion !
Si on parle de DÉcharge, c'est qu'initialement le condensateur possède une charge $q_0$ :)


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J. von Neumann

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#6 17-02-2021 11:15:09

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

Bien sûr, j'ai raté la conclusion croyant que c'est une charge.
Bon,
donc q(t)=k*exp[(-1/(rc)t]
A 'instant t=0, q=q0
donc k*=q0
et q(t)=q0*exp[(-1/(rc)t]

La fonction q est décroissante, convexe et admet la droite d'équation y=0 comme asymptote en +oo.

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#7 17-02-2021 11:35:49

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

Bien sûr, j'ai raté la conclusion croyant que c'est une charge.
Bon,
donc q(t)=k*exp[(-1/(rc)t]
A 'instant t=0, q=q0
donc k*=q0
et q(t)=q0*exp[(-1/(rc)t]

La fonction q est décroissante, convexe et admet la droite d'équation y=0 comme asymptote en +oo.

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#8 17-02-2021 12:09:12

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

Yes, même si je doute que tu aies parlé de convexité en terminale (quoiqu'avec l'option maths ça peut changer...)

Je te donne un autre exemple d'application que tu as dû aborder au lycée : la décroissance radioactive.

► La radioactivité naturelle (radioactivité $\alpha$) est telle que, pour un noyau donné, la probabilité de désintégration par unité de temps, notée $\lambda$, est une caractéristique intrinsèque et invariable dans le temps (c'est à dire que la probabilité qu'il y ait une désintégration pendant une durée $\Delta t$ vaut toujours $\lambda\Delta t$). On l’appelle constante radioactive.
On nomme $N(t)$ le nombre d'atomes instables contenus dans un échantillon à un instant $t$ donné. La quantité initiale est notée $N_0$.

En considérant une durée élémentaire $\text{d}t$, exprimer $N(t+\text{d}t)$ en fonction de $\lambda$ et $N(t)$.

En déduire l'équation différentielle vérifiée par $N$. Calculer $N(t)$ pour tout $t$.

Exprimer $t_{1/2}$, le temps au bout duquel la moitié des atomes se seront désintégrés, en fonction de $\lambda$.

######

Petite aide : Tu peux écrire $N(t+\text d t)-N(t) = dN$, et traiter les $\text d N$ et $\text d t$ comme des coefficients normaux. Tu verras que c'est une hérésie absolue en maths, mais en physique ça marche donc on l'écrit...

P.-S. : Cet exercice est en réalité un condensé des 3 premières questions du concours d'entrée à l'école Centrale, qui se passe après 2 années de prépa.

Dernière modification par Chlore au quinoa (17-02-2021 12:16:43)


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J. von Neumann

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#9 17-02-2021 15:44:05

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

Chute libre avec frottement:
Loi de Newton: P+f=ma (relation vectorielle). L'axe verticale est orienté vers le bas (selon P).
mg-alpha*v=ma   (a=accélération = v')
mg-alpha*v=mv'
v'=-alpha/m*v-g
donc v=k*exp[-alpha/m*t]-mg/alpha

v(o)=v0; k=v0+mg/alpha
Finalement: v(t)= mg/alpha(exp[-alpha/m*t]-1)+v0*exp[-alpha/m*t]
limite v(t) = mg/alpha

1°) Si mon calcul est juste, ou' est passée la hauteur h ?
2°) la hauteur h est un paramètre inutile dans cet exercice ?

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#10 17-02-2021 18:54:20

Black Jack
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Re : equadiffs du premier ordre

kadaide a écrit :

Chute libre avec frottement:
Loi de Newton: P+f=ma (relation vectorielle). L'axe verticale est orienté vers le bas (selon P).
mg-alpha*v=ma   (a=accélération = v')
mg-alpha*v=mv'
v'=-alpha/m*v-g
donc v=k*exp[-alpha/m*t]-mg/alpha

v(o)=v0; k=v0+mg/alpha
Finalement: v(t)= mg/alpha(exp[-alpha/m*t]-1)+v0*exp[-alpha/m*t]
limite v(t) = mg/alpha

1°) Si mon calcul est juste, ou' est passée la hauteur h ?
2°) la hauteur h est un paramètre inutile dans cet exercice ?

Bonjour,

Erreur de signe en passant de mg-alpha*v=mv' à  v'=-alpha/m*v-g

Quand ce sera corrigé, la réponse à "où est passé h ?" :

Au final (après la correction ci-dessus), tu auras v(t) = ...

En remplaçant v(t) par dz/dt (z étant l'ordonnée de la position), tu auras une nouvelle équation différentielle qu'il faudra résoudre.
Il y aura une nouvelle constante d'intégration dans cette résolution ... dont tu trouveras la valeur par la condition initiale z(0) = -h

Attention au signe de zo puisque tu as choisi de prendre l'axe vertical orienté vers le bas (ce qui est permis mais peut être pas judicieux pour exprimer z(t).

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#11 18-02-2021 11:07:13

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

Oui, j'ai fait une erreur !
V’=g-alpha/m*v
V=k*exp[-alpha/m*t]+mg/alpha
T=0, v=v0 donc V0=k+mg/alpha
K=(v0-mg/alpha
Alors V=(v0-mg/alpha)*exp[-alpha/m*t]+mg/alpha
V=v0* exp[-alpha/m*t]+mg/alpha*(1- exp[-alpha/m*t]

Z(t)=primitive de v(t)
Z(t)= exp[-alpha/m*t](-alpha*v0/(mg)+1)+mg/alpha*t+alpha*v0/(mg)-h
Il y a de quoi se trompé car le calcul est assez long.

J’ai orienté l’axe verticale vers le bas car le vecteur f  est orientée vers le haut (donné par l’énoncé).

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#12 18-02-2021 12:00:05

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

RE,

Tu devrais vraiment utiliser LaTeX, notre modérateur cosmique yoshi a rédigé un super guide (j'ai d'ailleurs entièrement appris l'utilisation grâce à lui, j'ai juste besoin de rechercher parfois des trucs super spécifiques), parce que c'est assez dur à suivre ^^
J'avoue que j'ai pas trop trop cherché à lire ton expression de $z(t)$, parce que trop galère... mais il me semble que tu as quand même fait des erreurs dans l'intégration.

Pour $v$ j'obtiens : $v(t)=\dfrac{mg}{\alpha}(1-e^{-\frac{\alpha}{m}t})+v_0\,e^{-\frac{\alpha}{m}t}$, soit je crois la même chose que toi.

Par contre lorsque je primitive j'ai : $z(t)=-\dfrac{m}{\alpha}v_0e^{-\frac{\alpha}{m}t}+\dfrac{m^2g}{\alpha ^2}e^{-\frac{\alpha}{m}t}+h-\dfrac{m}{\alpha}(\dfrac{mg}{\alpha}-v_0)$
J'ai pu me tromper bien sûr !


Le fait d'orienter l'axe vers le bas est bien entendu autorisé, cela fait juste intervenir des signes $-$, mais ça peut paraître étrange de considérer que la hauteur initiale est $-h$. Après si tu y arrives tant mieux ! Perso je préfère toujours orienter dans le même sens, ce que j'ai d'ailleurs fait ici.

J'attends avec impatience celui de la radioactivité, je le trouve intéressant !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (18-02-2021 12:04:30)


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#13 18-02-2021 18:30:31

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

J'attends avec impatience celui de la radioactivité, je le trouve intéressant !

Je prétexte pour écrire en latex la prochaine fois.

Sujet: radioactivité

Je connaissais la formule depuis quelques dizaines d'années mais je ne l'ai jamais démontrée jusqu'à ce jour.
Je vais essayer.

Lambda*dt est une désintégration par unité de temps dt pour un atome
Lambda*N(t)*dt est le nombre de désintégrations dans l'échantillon d'atomes pendant dt.
Donc N(t+dt)-N(t)= dN
N(t+dt)-N(t)=-lambda*N(t)dt ( car N(t+dt)-N(t)<0)
dou' dN(t)=-lambda*N(t)*dt

N'(t)=-lambda*N(t)
N(t)=k*exp[-lambda*t]
à t=0, N(0)=N0

N(t)=N0*exp[-lambda*t]

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#14 18-02-2021 19:00:21

yoshi
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Re : equadiffs du premier ordre

Re,

@Chlore au quinoa

Tu devrais vraiment utiliser LaTeX, notre modérateur cosmique yoshi a rédigé un super guide (j'ai d'ailleurs entièrement appris l'utilisation grâce à lui, j'ai juste besoin de rechercher parfois des trucs super spécifiques)

Vraiment ? c'est sympa...
Sache que moi aussi, je dois rechercher des trucs spécifiques dont je ne me sers pas souvent : je suis pour cela (toi aussi, je présume) le lien qui y figure vers la page Wiki (assez dense).
Je cherche en vain, par contre depuis assez longtemps, comment afficher le symbole de l'arc de cercle : j'ai pu voir d'ailleurs que les solutions proposées ne marchent pas sur un forum au moins le nôtre).
J'ai fini par trouver comment encadrer...

Dans l'affichage d'un système, par exemple :
$\begin{cases}x + y =7\\2x+3y=14\end{cases}$
tu remarqueras le non-alignement vertical des symboles =.
La correction est aisée avec cette astuce : ajouter l'esperluette (&) devant les = et voilà :
$\begin{cases}x + y &=7\\2x+3y&=14\end{cases}$
Code :
\ begin{cases}x + y &=7\\2x+3y&=14\ end{cases}
Pour l'emploi, écrire :
* \begin
* \end
sans les espaces.
Curiosité : si j'enlève les espaces, et sans les dollars, le système s'affiche quand même et est de plus centré horizontalement...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#15 18-02-2021 20:49:58

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

Re

@yoshi

J'ai fini par trouver comment encadrer...

Ah ? Le premier forum cherché sur google m'a fait découvrir la commande \fbox pourtant ^^

Moi c'est faire des grandes sommes/intégrales, j'ai mis un temps fou à utiliser \displaystyle...

Et bravo @kadaide ! Super bonne intuition pour un élève de terminale !


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#16 20-02-2021 11:18:58

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

yoshi a écrit:

Et bravo @kadaide ! Super bonne intuition pour un élève de terminale !

Je n'ai pas de mérite car je suis un ancien élève de terminale.
Je me distrais avec les mathématiques !

Mais j'attends toujours la réponse de Chlore au quinoa pour voir ce que c'est:

Tu verras que c'est une hérésie absolue en maths, mais en physique ça marche donc on l'écrit...

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#17 20-02-2021 12:11:37

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

Excellente distraction !

Voir ce qu'est quoi ? Je ne comprends pas très bien ta question...

Adam


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J. von Neumann

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#18 20-02-2021 12:28:48

kadaide
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Re : equadiffs du premier ordre

1°) Si ma démonstration est bonne ?
2°) Tu avais parlé d'hérésie absolue, tu veux parler de quoi ?
Tu a bien écrit:

Tu verras que c'est une hérésie absolue en maths, mais en physique ça marche donc on l'écrit:

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#19 20-02-2021 12:44:48

Chlore au quinoa
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Re : equadiffs du premier ordre

Ah pardon !
Ta démo sur la radioactivité est très bonne ! Joli :)

Et l'hérésie c'est de considérer les $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}$ et autres notations pour les dérivées comme des fractions. Ça "marche" en physique parce qu'on est dans $\mathbb{R}$, que tout est $\mathcal{C}^{\infty}$, différentiable en tout point etc, mais si tu t'intéresses au calcul différentiel (domaine que personnellement je trouve très compliqué, et dans lequel je ne suis pas DU TOUT spécialisé), tu verras ce à quoi correspondent lesdites notations, et que c'est tout sauf des fractions :)

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 12:45:17)


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