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#1 18-01-2021 01:24:36
- Chloe75
- Membre
- Inscription : 28-12-2020
- Messages : 20
Analyse
Bonjour,
J’ai un exercice résolu que je ne comprends pas trop certains détails.
Je souhaite donc que vous m’aidiriez a y voir claire.
Voici l’énoncé et la solution:
Calculer l’intégrale $\int_\gamma f(z)dz$ dans le cas suivant avec $\gamma$ orienté positivement:
$f(x+iy)=x$ et $\gamma$ est le polynôme $[-i,-i+1,i+1,i,-i]$
Solution:
Nous utilisons les parametrisations suivantes :
$\gamma_1 (t) = -i+t, 0 \leq t \leq 1$,
$\gamma_2 (t) = ti+1, -1 \leq t \leq 1$,
$\gamma_3 (t) = i+(1-t), 0 \leq t \leq 1$,
$\gamma_4 (t) = -ti, -1 \leq t \leq 1$.
Alors
$\int_\gamma f(z)dz = (\int_\gamma1 + \int_\gamma2 + \int_\gamma3 + \int_\gamma4)f(z)dz$
$=\int_0^1 f(-i+t)dt + \int_{-1}^1 f(ti+1)idt + \int_0^1 f(i+(1-t))(-1)dt + \int{-1}^1 f(-ti)(-i)dt$
$=\int_0^1 tdt + i \int_{-}^1 tdt + \int_0^1 (t-1)dt =2i$.
Je ne comprends pas le début de la solution, c’est-à-dire, la parametrisation. Sur quelle logique on a découpé les intervalles et c’est quoi la démarche en règle générale ?
Merci pour vos réponses.
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#2 18-01-2021 12:36:05
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Analyse
Bonjour,
$\gamma$ est un polygone. C'est naturel de l'écrire comme 4 segments successifs, non? D'où $\gamma_1$, $\gamma_2$,...
Il me semble que les paramétrages choisis sont les plus simples possibles....
F.
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#3 18-01-2021 15:24:04
- Chloe75
- Membre
- Inscription : 28-12-2020
- Messages : 20
Re : Analyse
Bonjour Fred,
Merci pour ton intervention.
Oui, je suis d’accord mais c’est la logique de la découpe que je comprends pas, désolée si ça semble trop évident, mais ça ne me saute pas aux yeux. Raison pour laquelle j’aimerais comprendre la logique/astuce.
Chloé
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