Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Free13

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question sur définition d'une base

Hello à tous !!

Alors en prenant la définition d'une base pour H comme étant une famille indexée de vecteurs v1 .... vp telle que

1) B est Linéaireemnt indépendante

2) H = span {v1....vp}

je désirais savoir comment EN PRATIQUE on pouvait faire la différence entre le fait que B était LI et qu'elle génénérait H

parce qu'en pratique, on vérifie à chaque fois uniquement l'indépendance linéaire de B non ?
Merci d'avance !

F

Fred

Administrateur

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Re : question sur définition d'une base

Bonjour,

  Pas forcément... Ca dépend si tu connais la dimension de $H$ a priori. Si tu sais avant de faire l'exercice que $H$ est de dimension $p$, et que tu veux démontrer que $(v_1,\dots,v_p)$ est une base de $H$, alors il suffit que tu démontres que c'est une famille libre.
Sinon, tu dois en plus démontrer que c'est une base!

F.

valoukanga

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Re : question sur définition d'une base

Bonsoir !

Dans la pratique, quand on souhaite par exemple montrer que $\mathcal B$ est une base (disons de $\mathbb R^n$ ici), on montre qu'elle libre (car c'est plus simple que de montrer qu'elle est génératrice) et on utilise un argument de dimension. Cela vient du théorème suivant :

Si la famille $\mathcal B$ comporte $n = \dim \mathbb R^n$ vecteurs, alors si elle est libre, c'est une base et si elle est génératrice, c'est une base (i.e. libre est équivalent à génératrice si la famille comporte $n$ éléments).

En pratique, pour faire la différence : si tu penses que $\mathcal B$ ne génère pas tout ton espace, il suffit de trouver un vecteur de ton espace qui ne s'exprime pas comme combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal B$. Si c'est une base, il te suffit donc de montrer qu'elle libre ou génératrice et d'utiliser l'argument de dimension ci-dessous, ou de montrer qu'elle est libre et génératrice, mais c'est plus long. Est-ce-que c'est plus clair ?

Dernière modification par valoukanga (29-11-2020 00:01:46)