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Neo0101

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Exercice 2 Séries entières

Bonjour,

Il est demandé de calculer le rayon de CV de la série $\sum_n\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}$.
Je l'ai fait par la règle de d'Alembert et cela fonctionne.
Il propose une autre méthode dans la correction que je ne comprends pas :

Pour $R>0$, on a

$ \begin{equation}
\frac{\sqrt nR^{2n}}{2^n+1}\sim_{+\infty} \sqrt n \left(\frac{R^2}{2}\right)^n.
\end{equation}$

Ceci est borné si et seulement si $\frac{R^2}2<1$. Le rayon de convergence est donc $\sqrt 2$.

Comment déduit-on que le rayon de CV est $\sqrt 2$ ?

Je vous remercie d'avance de votre réponse,
Neo

valoukanga

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Re : Exercice 2 Séries entières

Bonjour !

Pour une série entière, son rayon de convergence est l'endroit où le terme général est borné, et le fait d'être borné se transmet par équivalence.