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Gros Caramel

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corps de nombres

Bonjour,

J'ai à démontrer que K = {a+bi|a,b E Q} est un corps de nombres.

Ma compréhension est qu'un corps de nombre est une extention algébrique de Q.  Par conséquent, il me suffit de démontrer que

1) K est un corps (c-a-d qu'il satisfait aux operations + et * courantes)
2) a+bi est racine d'un polynome de Q

Est-ce correct comme raisonnement?

merci,
GC

Dernière modification par Gros Caramel (25-09-2007 20:51:12)

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Le Tao qu'on tente de saisir n'est pas le Tao lui-même;
Le nom qu'on veut lui donnern'est pas son nom adéquat.
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Fred

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Re : corps de nombres

Salut,

  Oui, tu peux faire comme cela.
Mais le mieux c'est de remarquer que K=Q(i) est le corps de décomposition sur Q du polynôme X^2+1,
ce qui te donne directement que c'est un corps de nombres.

F.

Gros Caramel

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Re : corps de nombres

Bonjour et merci de votre réponse.

J'ai cependant d'autres petites questions :

(1) Je veux bien saisir la notion d'extention algébrique.  Pour que K soit dit extention algébrique sur Q, suffit-il de trouver un polynome dans Q pour lequel on peut démontrer que tous les éléments de K sont une racine?  Dans mon probleme, j'ai K=a+bi ... Il est facile de montrer que tout nombre a+bi est racine du polynome a^2+b^2 ... cette démonstration suffit-elle à démontrer que K est une extention algébrique de Q?

(2) Dans mon manuel de cours, on se limite à dire qu'un corps de nombres est un corps fermé pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.  On ne parle pas du tout de la notion algébrique sur Q ... est-ce à dire que la fermeture d'un corps sur +-/* prouve que ce corps est algébrique sur Q?

(3) Que veulent dire "K=Q(i)" et "K est un corps de décomposition sur Q du polynôme X^2+1" ?

merci à l'avance de votre aide,

GC

Dernière modification par Gros Caramel (26-09-2007 15:01:13)

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Fred

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Re : corps de nombres

Mes réponses :

(1) Euh, a^2+b^2 n'est pas un polynôme....ou alors un polynôme constant.
C'est un petit peu plus compliqué de prouver que a+bi est racine d'un polynôme.

(2) Je ne comprends pas ce que veut dire fermé pour +, etc....
En tout cas, R n'est pas une extension algébrique de Q par exemple.

(3) Q(i) est le plus petit corps contenant Q et i. Quand on a une extension sur Q qui est
engendré par un seul élément (ici i), il suffit de prouver que cet élément est algébrique sur Q
pour démontrer qu'on a affaire à un corps de nombre.
Pour le reste, je te renvoie à
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … corps.html

Fred.

Gros Caramel

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Re : corps de nombres

Bonjour.

Merci de votre réponse.

(1) Effectivement.  Mon erreur.

(2) Fermé = stable.  Dans le cas du K dont il est question ici, si on définit a,b E K, on peut facilement prouver que a+b, a-b, a*b, a/b (b <> 0) E K.  Selon mes notes de cours, un corps fermé pour les opérations usuelles d'addition et de multiplication serait un corps de nombres.

(3) Prenons le polynome x^2+1.  Si je comprends bien, étant donné que ce polynome se factorise par (x+i)(x-i) et que, donc, i et -i sont ses racines, Q(i) est un corps de décomposition et donc un corps de nombres.  Ais-je bien compris?

Dernière modification par Gros Caramel (27-09-2007 00:31:14)

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Fred

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Re : corps de nombres

Mouais, je me demande s'il n'y pas confusion entre "corps de nombre" et "sous-corps de C".
Si on veut démontrer que K est un sous-corps de C, effectivement, il suffit de vérifier la stabilité pour les 4 opérations
(ce qui n'est pas trop dur dans ce cas).

A+
Fred.