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Azerty123j

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Théorème de l'équivalence des normes

Bonjour j'aurais besoin d'aide sur un exercice que je dois faire pour bientôt.
Voici les énoncés:

"Pour tout (x; y) appartenant à R2, on pose |(x; y)| = 2|x| + 3|y|

Trouver la plus grande constante c > 0 et la plus petite constante C > 0 telles que
c||(x; y||1 =<||(x; y)|| =< C||(x; y)||1"

Je ne sais pas du tout comment faire, je crois qu'il s'agit du théorème de l'équivalence

Dernière modification par Azerty123j (13-11-2020 20:55:10)

Fred

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Re : Théorème de l'équivalence des normes

Bonjour,

  L'existence (en général) de $c$ et $C$ vient du théorème d'équivalence des normes (en dimension finie).

Là, ce qu'on te demande, c'est tout simplement de trouver la plus petite constance $C>0$ de sorte que,
pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$,
$$ 2 |x|+3|y|\leq C(|x|+|y|).$$

D'après toi, quelle est-elle?

F.

Azerty123j

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Re : Théorème de l'équivalence des normes

Je dirais 3 ? pour donner 3|x|+3|y| ?

Fred

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Re : Théorème de l'équivalence des normes

Oui, tu as bien $\|(x,y)\|\leq 3\|(x,y)\|_1$. Et pourquoi ne peut-on pas faire mieux que 3???

F.

Azerty123j

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Re : Théorème de l'équivalence des normes

Car y est déjà multiplier par 3 et on ne peut pas aller au dessous