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Nelcar

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fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonjour
Voici mon exercice. Je ne comprend pas bien (cette semaine je suis chez moi et je galère)
Soit g la fonction définie sur R par :
g(x)=2x³ -3x²-1
1) Etudier les variation de g
j'ai fait un tableau et j'ai
x     -1          0          1          2
g     -6        -1         -2          3   

donc monte, descend et remonte (je n'ai pas trouvé pour mettre les fléches
2) Montrer que l'équation g(x)=0 admet sur R, une unique solution beta (je n'ai pas trouvé comment l'écrire). Donner un encadrement de beta à 0,1 près

g(0)=-1 et g1)= -2 et g(3)= 3
donc 0 est compris entre g(0) et g(2) on en déduite d'après le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation g(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [-1 ; 3]
j'ai trouvé donc l'encadrement de béta d'amplitude 0,1 est :
1,6<béta<1,7

3) déterminer le signe de g(x) sur R
+    -   +

4)soit f la fonction définie sur ]-1 ; + infini[ par :
f(x= (1-x)/(x²+1)
a) calculer f'(x) puis exprimer f'(x) en fonction de g(x)
je calcule donc la dérivée (u/v)
u=1-x         u'=-1
v=x³+1       v'=3x²
numérateur :(-1)(x³+1)-(1-x)(3x²)
dénominateur : (x³+1)²

à la fin je trouve 2x³-3x²-1 en numérateur et en dénominateur pas de changement
et là je ne comprend pas car ma calculatrice me donne (-1)/(x³-1)
donc je bloque là
et en b) on demande d'en déduire le signe f'(x) puis les variations de f sur ]-1 ; + infini [

je suis arrêtée là.
Merci pour votre aide

Zebulor

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonjour,
pour la 2) tu montres qu'il y a au moins une solution, mais il te reste à montrer son unicité ..autrement dit qu'il n'y en a pas d'autres..
C'est pourquoi tu peux ajuster ton encadrement, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à $f$ sur [1;2], en précisant que $f$ est continue et croissante strictement sur [1;2] : ce qui te donne l'existence mais aussi l'unicité de beta..

En 4) Si j'ai bien compris c'est  $f(x)=\frac {1-x}{x^3+1}$ ?
et as tu programmé la bonne fonction sur ta calculatrice ? oubli de parenthèse quelque part ?

Dernière modification par Zebulor (11-11-2020 18:20:58)

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Nelcar

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Re,
Zebulor : pour le 2) là je ne comprend pas
j'avais mis :
g(0)=-1 et g(1)= -2 et g(2)= 3
donc 0 est compris entre g(0) et g(2) on en déduit d'après le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation g(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [-1 ; 3]
tu mets :
"pour la 2) tu montres qu'il y a au moins une solution, mais il te reste à montrer son unicité ..autrement dit qu'il n'y en a pas d'autres..
C'est pourquoi tu peux ajuster ton encadrement, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à
f
sur [1;2], en précisant que
f
est continue et croissante strictement sur [1;2] : ce qui te donne l'existence mais aussi l'unicité de beta.."

je ne comprend pas ce que tu veux dire. Fallait-il de je calcule g(1,5)  g(1,6) g(1,7) . Merci de m'expliquer car là je ne comprends plus rien. Ou est-ce pour diminuer l'écart dans l'intervalle vu que j'ai mis [-1 ; 3] donc comme tu as mis [1;2]
et pour l'encadrement est-ce bon ?
j'ai trouvé donc l'encadrement de béta d'amplitude 0,1 est :
1,6<béta<1,7
  En 4) Oui c'est bien ce que tu as noté. là (mais je ne maitrise pas ma calculatrice) j'ai -1
en faisant avec u/v je suis arrivée à (2x-x²)/x² mais je bloque après (j'ai essayé de mettre x en facteur soit numérateur x(2-x) et dénominateur x(x) mais après je pense que je peux supprimer les x donc il resterait (2-x)/2 et je bloque pour le reste
(ce n'est pas évident d'essayer de comprendre avec un livre uniquement).

Merci de votre aide.

Nelcar

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Re,
en refaisant mes calculs pour le 4)
je suis arrivée à (2x³-3x²-1)/((x²+1)²
mais après je bloque

Zebulor

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Rebonsoir,

g(0)=-1 et g(1)= -2 et g(2)= 3
donc 0 est compris entre g(0) et g(2) on en déduit d'après le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation g(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [-1 ; 3]

C'est exact Nelcar mais si je lis bien ton énoncé on te demande de montrer qu'il y a exactement une solution.
Or tu écris : "au moins une solution" ce qui veut dire une solution ou éventuellement plusieurs solutions (2, 3, 4....). Quand je te lis je me dis que tu conclus que beta est une solution mais qu'il peut y en avoir d autres...

1)j'ai choisi un intervalle plus petit parce qu'on peut appliquer un cas particulier de ce théorème des valeurs intermédiaires : g(1)<0 et g(2)>0,  g est continue strictement croissante sur [1;2], donc elle s'annule pour une valeur beta unique comprise entre 1 et 2, que tu as bien encadrée.

2)Reste à écrire que sur chacun des intervalles $]-\infty;1]$ et $[2;\infty[$, g est de signe constant donc ne n'annule pas. Par conséquent sur chacun de ces deux intervalles l'équation $g(x)=0$ n'a pas de solution.
Au passage il manque les études en $-\infty$ et $+\infty$ dans ton tableau de variations, puisque que l'énoncé parle d'une étude sur R.

Conclusion d'après 1) et 2) : sur $\mathbb R$ , g ne s'annule qu'une seule fois en beta.

Pour la calculatrice, je soupçonne un problème de parenthèses, mais comme je ne l'ai pas sous les yeux...

Re,
en refaisant mes calculs pour le 4)
je suis arrivée à (2x³-3x²-1)/((x²+1)²
mais après je bloque

Parfait, et... il te reste à recoller les morceaux.. tu peux déjà simplifier encore un peu cette écriture.. dont on te demande d'étudier le signe...

Dernière modification par Zebulor (12-11-2020 10:22:38)

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Nelcar

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonjour Zébulor,
Oui en effet il doit y avoir une solution unique et non plusieurs.
pour le 1) ok pour ce que tu mets mais comment trouver béta, moi j'avais fait sur ma calculatrice en cherchant la valeur de la deuxième colonne la plus proche de 0 c'est bien ça ?
pour le 2) oui j'ai omis - et + l'infini
x      -infini           bété        + infini
g(x)    -                 0               +
je suis arrivée à (2x3-3x²-1)/((x2+1)² donc je peux dire que le numérateur est égal à g(x) donc numérateur g(x)/(x³+1)²

x                                  - infini                     béta               + ingini
g(x)                                    -                          0                       +
(x³+1)²                                         +
f'(x)                                    -                          0                       +
f(x)                                     flèche descendante f(2) flèche montante

MERCI

Zebulor

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonjour,
Pour le 1) je ne suis pas sur de bien comprendre ce que tu entends par "la valeur de la deuxième colonne. Mais ton encadrement de $\beta$ est bon dans la mesure où 1.6 et 1.7 diffèrent de 0.1.
Si on te demandait :
-un encradement de $\beta$ à 0.01 près ça serait ceci : $1.67 \lt \beta \lt 1.68$
-un encradement de $\beta$ à 0.001 près ça serait ceci : $1.677 \lt \beta \lt 1.678$.. etc

Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires dans cet exercice sur l'intervalle [1;2] dans le but de montrer l'unicité de $\beta$ il faut les deux propriétés que sont la continuité et la monotonie stricte, sinon ça ne marche pas.

pour finir...

et en b) on demande d'en déduire le signe f'(x) puis les variations de f sur ]-1 ; + infini [

tu peux aussi essayer de la tracer sur ]-1 ; + 10 [..et voir ce qui passe en $x=\beta$

Dernière modification par Zebulor (12-11-2020 23:15:08)

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Nelcar

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonsoir
Zebulor : je n'ai pas été avisé que tu m'avais répondu, voilà le pourquoi de ma non réponse. Le professeur nous a donné la correction d'ailleurs c'est un peu le bordel avec une semaine sur deux, normalement il était à faire pour lundi et là il a mis la correction et la suite des autres exercices sur Pronote. Il continue normalement et là je commence à être perdue.

Merci encore. Bonne soirée

Zebulor

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonsoir Nelcar,
Quelle délicate attention. Un peu perdue ? tes camarades doivent l'être aussi alors il faut relativiser.. Ici tu peuyx trouver de l'aide.
Bonne soirée de même

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yoshi

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Re : fonctions avec encadrement lorsqu'on a une solution unique

Bonjour Nelcar,

Ne te fais pas trop de souci, que tu patauges un peu parfois, rien de bien grave : beaucoup sont passés par là et on survécu...^_^
Zebulor a raison : nous serons là pour répondre à toutes tes questions.
Alors, n'hésite pas !

Tiens, je vais te préciser un détail : quand tu as posté un sujet, tu as en bas de l'écran en dessous de Répondre, la mention Suivre cette discussion.
Si tu cliques dessus, à chaque fois qu'un message sera posté dans la discussion tu recevras un mail pour t'en avertir.

Allez, redresse-toi, souris ! Je trouve que tu ne débrouilles pas si mal que ça et de plus, tu es volontaire et sérieuse, tu cherches à comprendre,  tu ne t'avoues pas satisfaite tant qu'il te reste un petit point qui ne te paraît pas vraiment clair : que demander de plus ?

@+

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