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#1 28-10-2020 09:14:35
- Lacombe
- Invité
Résoudre des équations (maths expertes Tale)
Bonjour, voici mon énoncé d'exercice. Nous venons tout juste de finir le chapitre sur les congruences et la division euclidienne mais je ne vois pas du tout comment l'utiliser ici .
Résoudre les équations suivantes, dans l'ensemble indiqué
a) x*y = 2x +3y, Z x Z
b) 1/x +1/y = 1/5 , Z* x Z*
Pour la a) j'ai essayer de factoriser pour avoir un produit "d'un coté" et un nombre de l'autre
xy = 2x +3y équivaut à xy - 2x - 3y =0
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
je factorise par -3
(x-3)(y/3 - 2/3 - y/x)=0
et là je n'arrive pas à simplifier le second membre.
Merci de votre aiguillage
#2 28-10-2020 20:14:08
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)
Bonsoir,
Je n'ai besoin ni de congruence, ni de division euclidienne.
J'ai un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy &=2x+3y\\\dfrac 1 x + \dfrac 1 y &=\dfrac 1 5\end{cases}$
J'ai résolu ce système par substitution.
La forme de ce système me rappelle ce sujet dont tu peux t'inspirer : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12994
Va lire et tâche de comprendre, lance-toi dans les calculs et reviens nous faire part de tes avancées.
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
Première étape d'une substitution.
Là, tu es partie pour écrire x en fonction de y, mais fais-le comme ça :
$x(y-2)=3y$ Au passage, tu dois voir ce qui se passe si $y=2...$
$\Leftrightarrow$
$x=\dfrac{3y}{y-2}$.
etc...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#3 29-10-2020 10:19:29
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)
Bonsoir,
Je n'ai besoin ni de congruence, ni de division euclidienne.
J'ai un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy &=2x+3y\\\dfrac 1 x + \dfrac 1 y &=\dfrac 1 5\end{cases}$
J'ai résolu ce système par substitution.
La forme de ce système me rappelle ce sujet dont tu peux t'inspirer : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12994Va lire et tâche de comprendre, lance-toi dans les calculs et reviens nous faire part de tes avancées.
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0Première étape d'une substitution.
Là, tu es partie pour écrire x en fonction de y, mais fais-le comme ça :
$x(y-2)=3y$ Au passage, tu dois voir ce qui se passe si $y=2...$
$\Leftrightarrow$
$x=\dfrac{3y}{y-2}$.
etc...@+
Bonjour Yoshi ...
Ce n'est pas un système de 2 équations qui est donné, mais bien 2 équations indépendantes.
Il faut donc résoudre séparément :
xy = 2x + 3y (dans Z²)
et
1/x + 1/y = 1/5 (dans Z*²)
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#4 29-10-2020 11:05:05
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)
RE,
Effectivement les mentions a) et b) m'avaient échappées
Dommage,
j'avais une solution unique... ^_^
Bon par exemple, alors partir de :
a) $y =\dfrac{2x}{x-3}$
Ecrire $ y$ sous la forme $y=a+\dfrac{b}{x-3}$ avec $a,b \in \mathbb Z$
b) $y =\dfrac{5x}{x-5}$
Même idée.
J'avais aussi zappé :
xy = 2x +3y équivaut à xy - 2x - 3y =0
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
je factorise par -3
(x-3)(y/3 - 2/3 - y/x)=0
Le résultat de ta factorisation par -3 m'inquiète grandement...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 29-10-2020 11:06:36
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)
Bonjour,
Je tente la résolution du b ... à titre d'exemple.
1/x + 1/y = 1/5
5x + 5y = xy
donc comme 5 est premier; on a forcément x et/ou y multiple de 5
Comme x et y sont interchangeables dans l'équation, on peut décréter que c'est x le multiple non nul de 5
On a donc x = 5k (avec k dans Z*)
25k + 5y = 5ky
5k + y = ky
y(k-1) = 5k
y = 5k/(k-1)
et donc, soit y est aussi multiple de 5, soit (k-1) est multiple de 5
si (k-1) est multiple de 5 : k = 5k'+1 et y = (5k'+1)/k' = 5 + 1/k' (ce sui n'est possible que pour k'= -1 ou 1 ... donc y = 4 ou 6)
y = 4 --> x = -20
y = 6 --> x = 30
On a donc comme solutions les doublets (x,y) = (-20 ; 4) , (30 ; 6) (on peut évidemment croiser les valeurs de x et de y)
Les autres solutions sont avec x ET y des multiples non nuls de 5
5x + 5y = xy
25k1 + 25k2 = 25.k1.k2 (k1 et k2 dans Z*²)
k1 + k2 = k1.k2
k1 = k2/(k2 - 1) ce qui n'est possible que pour k2 = 2 (et k1 = 2) --> x = y = 10
Donc les triplets (x,y) solutions sont :
(-20,4) ; (4 ; -20) ; (30 ; 6) ; (6 ; 30) ; (10 ; 10)
*****
Il y a sûrement des méthodes plus académiques pour trouver les solutions.
EDIT:
Désolé, pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.
Dernière modification par Black Jack (29-10-2020 11:11:00)
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