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#1 29-09-2020 12:58:49
- ralph.W.X
- Invité
Borel-Cantelli généralisé
Bonjour.
Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré, $(X_n)_n$ une suite d'éléments dans $\mathcal{A},$ tel que $\lim_n\mu(X_n)=0$ et $\sum_n\mu(X_n-X_{n+1})<+\infty.$ Prouver que $P(\limsup_n X_n)=0.$
En essayant de reprendre la preuve du lemme de Borel-Cantelli: $$\forall k, \mu(\limsup_nX_n) \leq \mu(\bigcup_{p \geq k}X_p) \leq \mu(X_k)+\mu(\bigcup_{p \geq k+1}X_p)$$
Comment utiliser l'hypothese $\sum_n\mu(X_n-X_{n+1})$ de façon à obtenir le reste d'une serie convergente?
Merci.
#2 29-09-2020 16:29:41
- bridgslam
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- Messages : 1 299
Re : Borel-Cantelli généralisé
Bonjour,
je crois que dans un premier temps la relation suivante est à établir par récurrence:
si $\: i < j \:$ alors $\: \mu ( X_i - X_j ) \leq \sum\limits_{n = i} ^{ j - 1 } \mu ( X_n - X_{n+1} )$
Ensuite on l'utilise sur une réunion ( indices k variant de 1 à n quelconque ) des [tex] X_{k} [/tex]
en décomposant cette réunion en différences, et je pense qu'on s'en sort ,
la série à termes positifs cherchée étant une somme partielle majorée par une série convergente.
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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