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Jacq

Invité

Racine carrée d'un nombre complexe

Bonjour,

Je suis en terminale, j'ai un devoir sur les nombres complexes et je suis assez perdu, voici l'exo (pour ceux qui ne comprennent pas ce que j'ecris : exercice 150 https://www.lelivrescolaire.fr/page/13110512 ) :

Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit α=a+ib un nombre complexe, où a et b sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe z tel que z²=α.
On pose z=x+iy, où x et y sont deux réels.

1. Montrer que si z est une solution de l’équation z²=α, alors il en est de même de −z.

2. Montrer que z est solution de z²=α si, et seulement si,x et y vérifient le système suivant :
 
x²−y²=α
2xy=b
x²+y²= racine de a²+b²

3. a. Montrer que si b>0, alors une solution de l’équation z²=α est donnée par

(Racine de 1/2×(a+(racine de a²+b²)))+i(racine de 1/2×((a²+b²)-a²))

Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.

b. Montrer que si b<0, alors une solution de l’équation z²=α est donnée par

(Racine de 1/2×(a+(racine de a²+b²)))-i(racine de 1/2×((a²+b²)-a²))

Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.

4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes z tels que :
a. z²=2i
b. z²=3−4i

Alors le problème ici pour moi sont les deuxieme parties des questions 3a et 3b.

Pour les autres questions j'arrive à peu près a m'en sortir mais lorsqu'ils demandent "Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée." je ne comprends absolument pas, si quelqu'un pouvait m'éclairer (ou juste me guider un peu) j'en serais très reconnaissant :(

Merci d'avance !

tibo

Membre expert

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Re : Racine carrée d'un nombre complexe

Salut,

La question 3a. commence par te demander de trouver une solution de l'équation dans le cas b>0.
Pour en trouver une autre, aide toi de la question 1) :
Si $z$ est une solution, alors $-z$ en est aussi une...

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !