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#1 24-09-2020 15:36:44

bridgslam
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Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 297

un résultat arithmétique

Bonjour,

En attaquant un sujet de dénombrement en rapport avec les permutations et les tailles de leurs orbites,
un résultat arithmétique assez inattendu ( mais immédiat ou presque ) est celui-ci:


En désignant par E l’ensemble des uplets d’entiers positifs non nuls
rangés en ordre lexicographique croissant dont la somme des constituants est
une constante donnée on a :

[tex]\sum_{x \in E} P(x) = 1  [/tex]

où P(x)  est le produit des inverses de chaque constituant de x divisé par son rang dans sa
série d’identiques éventuels.

Exemple avec n = 5
x                  |               P( x )
----------------------------------------------------------------------
(1, 1, 1, 1, 1) |          1/1 x 1/2 x 1/3 x 1/4 x1/5 = 1/120   ( série de 4 identiques pour 1)
( 1, 1, 1, 2 )   |          1/1 x 1/2 x 1/3 x 1/2 = 10/120        ( série de 3 identiques pour 1)
( 1, 1, 3 )      |          1/1 x 1/2 x 1/3 = 20/120                 ( série de 2 identiques pour 1)
( 1, 4 )          |          1/1 x 1/ 4 = 30/120                        ( pas de série, ou série de 1 identiques à 1  si on préfère)
( 1 , 2, 2 )     |          1/1 x 1/2 x 1/4 = 15/120                  ( série de 2 identiques pour 2)
( 2 , 3 )         |          1/2 x 1/3 = 20/120                         ( pas de série )
( 5 )             |           1/5 = 24/120                                ( pas de série )
----------------------------------------------------------------------
Total             |          120/120

L'entier n peut évidemment prendre une autre valeur, on obtiendra un autre tableau analogue...
Cela m'a amusé, car il y a une sorte d'équilibrage entre une somme entière au final et produits d'inverses.

Je me demande s'il existe une preuve directe arithmétique, donc sans
élucubration combinatoire sous-jacente ( un peu abstraite - je passe ).
Pas trop cherché pour l'instant, mais quelqu'un peut avoir un flash...


Cordialement,
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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