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Omhaf

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Somme de 2 carrés

Bonjour mes amis,
Il est probable que je réinvente la roue mais je viens de découvrir une nouvelle méthode de développement d'une somme de 2 carrés
En effet durant mes modestes études en math, je n'ai étudié que les identités remarquables (carré d'une somme, carré d'une soustraction etc..)
Qu'en est t-il de  a²+b² ?
peut on l'exprimer autrement si nécessité oblige ?

la formule que je viens d'établir est la suivante :

a²+b²= (a+b)² - 2(ab)
Exemple :

5²+8² =25+64=89
5²+8²= (5+8)² -2(5 x 8)
89= 13²-80
89=169-80
Désolé si c'est du travail naïf
et merci de votre lecture

Dernière modification par Omhaf (20-09-2020 10:05:26)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 16 991

Re : Somme de 2 carrés

Bonjour,

Ce n'est pas si mal que de réinventer la roue...
Ta formule :
$a^2+b^2= (a+b)^2 - 2ab$ quoique que bien connue et utilisée est ici séparée de sa jumelle : $a^2+b^2= (a-b)^2 + 2ab$...
Oui, tu as réinventé la roue :
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab\quad\Leftrightarrow\quad =(a+b)^2 -2ab= a^2+b^2 $
J'ai simplement changer le 2ab de membre en changeant - comme il se doit - son signe...

J'ai dit aussi : utilisée... Oui, nuançons : plus ou moins !
On le voit plutôt comme ça :  $a^2+2ab = (a+b)^2 -b^2$ et c'est plus ou moins la même idée qui est derrière :

On montre, en classe de 2nde, qu'on peut parfois factoriser un trinôme du 2nd degré en utilisant "la mise sous forme canonique" ; exemple :
$x^2+4x-5 = (x^2+4x)-5 = [(x+2)^2-4]-5 = (x+2)^2-9$
Et arrivé là, on a une différence de 2 carrés qui permet la factorisation : $x^2+4x-5 = (x+2)^2-3^2=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)$

Et si c'était $x^2-6x+5$  ?
Là, on emploierait la formule"jumelle" :
$x^2-6x+5=(x^2-6x)+5=[(x-3)^2-9]+5 = (x-3)^2-9+5= (x-3)^2-4=(x-3)^2-2^2=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x+5)$

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Le procédé littéral de la mise sous forme canonique débouche ultérieurement sur une formule connue sous le nom de discriminant : ça te dit quelque chose ?
Voila la démonstration de la formule permettant le calcul du discriminant.
$ax^2+bx+c = a\left(x^2+\dfrac b a x+\dfrac c a\right)=  a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]$

J'ai factorisé par a en facteur, puis isolé (cette étape n'est pas indispensable) dans la même parenthèse les deux premiers termes...
On considère alors ces deux premiers termes comme le débit du développement de $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ :
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2+\dfrac b a x +\dfrac{b^2}{4a^2}$

On en tire
$x^2+\dfrac b a x = \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}$
que je remplace :
$ax^2+bx+c = a\left[\left(x^2+\dfrac b a x\right)+\dfrac c a\right]= a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]$
J'écris alors les deux derniers termes sous forme d'une seule fraction :
$ax^2+bx+c =  a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$

Voilà le polynôme est écrit sous "forme canonique".
Et c'est l'expression $b^2-4ac$ qu'on désigne sous le nom de discriminant (symbole $\Delta$)...

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Et je reviens à ma jumelle. Tu écris : 5²+8²= (5+8)² -2(5 x 8)
Pour que rien ne te choque je récris 5²+8² dans sens 8²+5² :
$8^2+5^2 =(8-5)^2+2\times 8 \times 5 = 9 + 80 = 89$

J'espère ne pas t'avoir ennuyé...

@+

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