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mias

Invité

action de groupe : S3

Bonjour,
Je cherche à trouver S3/H tel que :

Dans le groupe symétrique S3 des six permutations de l'ensemble {1,2,3}, considérons le sous-groupe alterné A3, constitué des trois permutations paires.
Dans le même groupe S3, considérons à présent le sous-groupe H = {id, τ}, où τ est la transposition (1 2).

La réponse donnée est :
S3/H est un ensemble à trois éléments, les trois classes à gauche suivant H, qui sont les trois paires suivantes :
g est un élèment de S3
gH=H=idH
(123)H={(123),(13)=(13)H
(132)H={(132),(23)=(23)H

Je ne comprends pas comment on trouve les 3 dernières lignes des résultats du S3/H.
Pour moi S3={Id, (231);(312) (23) (12) (13) }
normalement, j'applique à tous les éléments de H chaque action de S3. Donc, je dois me retrouver avec qq chose de type :
IdH
(231)H = j'applique (231) à id et j'applique (231) à T  mais en aucun cas je trouve (13)H !!!
(312)H = idem
....

Merci pour votre aide.

Fred

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Messages : 7 056

Re : action de groupe : S3

Bonjour,

  Si je calcule $(1\ 2\ 3)\circ \tau=(1\ 2\ 3)\circ (1\ 2)$ je trouve bien $(1\ 3)$.
Donc on a $(1\ 2\ 3)H=\{(1\ 2\ 3),(1\ 3)\}$.
D'autre part, si je calcule $(1\ 3)\circ\tau=(1\ 3)\circ (1\ 2)$, je trouve bien $(1\ 2\ 3)$.
J'ai donc aussi $(1\ 3)H=\{(1\ 2\ 3),(1\ 3)\}$.

F.