Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouss

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suites variations

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi pour étudier les variations d'une suite à partir de la méthode du quotient Un+1/Un il faut que les termes de la suites soient strictement positif.
Peut on aussi dire lorsque les termes de la suites sont strictement négatifs ? Ou tout simplement lorsque tous les termes de la suite sont non nuls ?
Merci beaucoup pour votre éclairage.

valoukanga

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Re : suites variations

Bonjour !

Le problème vient du fait que dans une inégalité, quand on divise (ou multiplie) par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité. Regardons cela :

Si ta suite $(u_n)$ a tous ses termes strictement positifs, on a que : $$(u_n) \text{ croissante} \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1.$$

En revanche, si ta suite $(u_n)$ a tous ses termes strictement négatifs, on a que : $$(u_n) \text{ croissante} \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \text{ puisque $u_n < 0$}.$$

Ainsi, le critère n'est pas le même : un coup le quotient doit être plus grand que 1, et dans l'autre cas il doit être plus petit que 1 ; mais la méthode est la même.

C'est plus clair ?

Mouss

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Re : suites variations

Bonjour,

Merci !
Du coup cette méthode d'étude de variations s'utilise dans les deux cas :
- soit tous les termes sont strictement positifs
- soit tous les termes sont strictement négatifs mais dans ce ca il faut faire attention (un) est croissante qd un+1<un et décroissante qd un<un+1

Est ce bien cela ?

valoukanga

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Re : suites variations

Re,

Alors non. $(u_n)$ croissante se traduit TOUJOURS pas : pour tout $n$, $u_{n+1} \geq u_n$, peu importe le signe des termes de la suite $(u_n)$. C'est juste pour le quotient de deux termes successifs que cela change : si tous les termes sont positifs, le quotient doit être supérieur à 1, sinon inférieur à 1.

Mouss

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Re : suites variations

Tout est clair, merci !