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#1 24-08-2020 19:06:13
- ourfatsi
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Sur les polynômes
Bonjour,
J'essaye de comprendre quelques points dans la démonstration de la TFA, il y a un point qui cause une certain confusion.
Afin de démontrer que pour tout polynôme $P(X)=\Sigma_{n_i=0} a_i.X_i = 0$ a un zéro dans $\mathbb{C}$, la démonstration procède en deux étapes :
Premièrement, démontrer que $\phi(z_0)=|z_0|$ est inférieurement borné avec $\phi(z0)=\underset{z \in \mathbb{C}}{inf}(\phi(z))$ . C'est la partie "facile" : $\phi$ est continu dans le disque $\lbrace z \in \mathbb{C},|z| \leq B \rbrace$
Deuxièmement, afin de créer une contradiction avec l'hypothèse $P(z_0) \neq 0$, on écrit la formule de Taylor de $P(z_0+h)$. Supposant qu'il existe un entier $1 \leq k \leq n$ à partir duquel $P^{(k)}(z_0)$ n'est pas nécessairement nul, nous aboutissons sur :
$\forall h \in \mathbb{C}, \frac{P(z0+h)}{P(z0)} = 1+h^k.\frac{P^{(k)}(z_0 + h)}{k!.P^{(k)}(z0)}+\dots+h^n.\frac{P^{(n)}(z_0 + h)}{n!.P^{(n)}(z0)}$
Le problème commence ici : afin de pouvoir écrire $\frac{P(z0+(t/ω))}{P(z0)}=1−t^k+o(t^k), t \to 0$, on fait un changement de variable : $h=t/ω$, et là, on suppose l'existence des racines complexes $(ω^k)$ telles que :
$ωk=−\frac{P^{(k)}(z_0 + h)}{k!.P^{(k)}(z0)}$
Or, je peine à comprendre comment est-ce possible. Les racines complexes ont toutes la même norme et la suivante résulte de la précédente par une rotation d'angle $2\pi/n$, ce qui n'est pas le cas ici.
Quelqu'un peut-il m'aider à y voir plus clair ?
N.B. Cette démonstration est extraite du livre de l'algèbre-I de Monier (ed 1996)
Avec mes remerciements.
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#2 24-08-2020 20:46:20
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Sur les polynômes
Bonjour,
Je pense que tu confonds racine de l'unité et racine d'un nombre complexe. Si $w$ est un nombre complexe non nul, l'équation $z^k=w$ a toujours $k$ racines distinctes, et je pense que $\omega$ est simplement l'une d'entre elles.
F.
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