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Abdel7a9

Invité

Demonstration dans l'ordre dans R

Salut,
Je n'ai pas pu faire cette démonstration est-ce que vous pouvez m'aider
La question :

x et y deux réels non nuls tels que : x + y ≥ 0

• Montrer que : (x/y²) + (y/x²) ≥ (1/x) + (1/y)

Et merci

yoshi

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Re : Demonstration dans l'ordre dans R

Bonjour,

Moi, je chercherais à prouver que $\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)\geqslant 0$

$\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)=\dfrac{x^3+y^3}{x^2y^2}-\dfrac{ x+y}{xy}$

$\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)=\dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2y^2}-\dfrac{ x+y}{xy}$

Je mets $(x+y)$ en facteur :

$\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)=(x+y)\left(\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)$

Encore une bricole à faire avant de pouvoir conclure mais je m'arrête là : la suite ne devait plus être qu'une formalité...

@+

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Abdel7a9

Invité

Re : Demonstration dans l'ordre dans R

Bonjour,

Moi, je chercherais à prouver que $\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)\geqslant 0$

$\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)=\dfrac{x^3+y^3}{x^2y^2}-\dfrac{ x+y}{xy}$

$\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)=\dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2y^2}-\dfrac{ x+y}{xy}$

Je mets $(x+y)$ en facteur :

$\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y}{x^2}-\left(\dfrac 1 x+\dfrac 1 y\right)=(x+y)\left(\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)$

Encore une bricole à faire avant de pouvoir conclure mais je m'arrête là : la suite ne devait plus être qu'une formalité...

@+

Merci infiniment pour votre aide ^^

yoshi

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Re : Demonstration dans l'ordre dans R

RE,

Par curiosité, qu'as-tu fait pour la suite ?

@+

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