Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kate70

Invité

Arithmétique

Bonjour qui peut m'aider ?

a. Est un entier naturel

Montrer que  a^5  - a est divisible par 10

yoshi

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Re : Arithmétique

Re,

$a^5-a=a(a^4-1) = a(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2+1)$
Il y a 3 nombres consécutifs, sur ces 3 nombres, il y a toujours un multiple de 2.
Reste le cas de 5 de la divisibilité par 5...
Si tu connais le petit théorème de Fermat, c'est immédiat...

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Elline*30

Invité

Re : Arithmétique

Moi j'ai fais comme toi et j'ai montré qu'il est divisible par 2 mais je suis coincé comment montrer qu'il est divisible par 5 puisque je ne connaît pas encore le théorème de Fermat. Y'a t-il une autre méthode ?

Matou

Invité

Re : Arithmétique

Bonjour,

tu peux aussi envisager tous les cas possibles modulo 5 !!

Matou

Kate70

Invité

Re : Arithmétique

Je n'ai pas encore étudié modulo

Matou

Invité

Re : Arithmétique

Essayé, c'est pas compliqué,

a admet comme reste dans la division par 5, les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4.
Donc, tu peux écrire
a = 5k+0
a = 5k+1
a = 5k+2
a = 5k+3
a = 5k+4

Il n'y a pas d'autre possibilité.

Tu regardes les cinq cas possibles..

Matou

yoshi

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Re : Arithmétique

Re,

Ok, bon...
Alors il n'y a que les nombres de 2 à 9 que tu dois regarder...
Ensuite, les autres sont des des multiples de 10 + un des précédents. 
Exemples
78 = 70+8
214= 210 +4...
entre 2 et 9 les nombres a sont soit 5 et on ne discute plus soit
2, 3, 4, 6, 7, 8, 9
Si a = 2, a-1=1, a+1=3 et a^2+1 = 5   donc vrai pour  a =2
Si a = 3, a-1=2, a+1=4 et a^2+1 = 10  donc vrai pour a = 3
Si a = 4, a-1=3, a+1=5                        donc vrai pour a = 4

Si a = 6, a-1=5                                    donc vrai pour a = 6
Si a = 7, a-1=6, a+1=8 et a^2+1 = 50  donc vrai pour a = 7
Si a = 8, a-1=7, a+1=8 et a^2+1 = 65  donc vrai pour a = 8
Si a=9,  a-1=8, a+1= 10                       donc vrai pour a = 9
Quel que soit a, un nombre à 1 chiffre, a^5-a se divise par 5...
Donc ?

Et maintenant quel que soit le nombre avec un nombre de chiffres supérieur à 2, je peux l'écrire comme la somme de deux nombres l'un terminé par 0 (donc ?), l'autre étant l'un des nombres à un chiffre précédent... Donc ... ?

Il y a peut-être (probablement) plus rapide, mais cette méthode a le mérite d'être simple et ne pas exiger de calculer de calculatrice... ^_^

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