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#1 09-06-2020 14:08:36

Ardus
Membre
Inscription : 31-03-2020
Messages : 20

Fonctions entières

Bonjour a tous,
J'espère que quelqu'un pourra me montrer comment aborder ce problème:

1)Décrire toutes les fonctions entières f telles que :

$|f(z)|\leq 100+ 2|z|^{7/2},       z\in C$

$f(1)=f(2)=f(3)=0 , f'(1)=4$

J'ai pensè d'utiliser l'egalitè $|f^{(n)}(z)|=\frac{n!}{r^{n}}max_\overset{D(0,r)}, {|f|}   $
mais je n'arrive pas à finir.

2)Soit f une fonction entière telle que $|f(z)|\le|e^{z}|, z\in C $
$f(1)=0$. Trouver f(0).

Posons $g(z)=\frac{|f(z)|}{|e^{z}|}$ On aura $g(z)\le 1 , z\in C $
La fonction g est holomorphe et bornèe donc pour Liouville est constante.

Après je suis en peu perdu.

Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par Ardus (09-06-2020 23:34:53)

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#2 09-06-2020 16:10:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Fonctions entières

Bonjour,

  Tu peux utiliser effectivement cette formule (par exemple avec $n=4$) et le théorème de Liouville pour en déduire quelque chose sur $f^{(4)}$...

F.

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#3 09-06-2020 16:43:39

Ardus
Membre
Inscription : 31-03-2020
Messages : 20

Re : Fonctions entières

Merci.

J'avait deduit que $f^{(n)}=0$ pour $ n\ge 4$
Donc j'ai cherchè une fonction du type $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ telle que $f(1)=f(2)=f(3)=0 , f'(1)=4$

Je trouve $f(x)= 2x^{3}-12x^{2}+22x-12$
Mais je suppose que ce n'est pas la bonne méthode.

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#4 09-06-2020 21:14:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Fonctions entières

Pourquoi pas?
Tu aurais pu dire que $f(z)=\lambda (z-1)(z-2)(z-3)$ puisque $f$ s'annule en $1$, $2$ et $3$ et est un polynôme de degré au plus 3, et trouver la valeur de $\lambda$ en sachant que $f'(1)=4$.

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#5 09-06-2020 23:32:12

Ardus
Membre
Inscription : 31-03-2020
Messages : 20

Re : Fonctions entières

Ok , mais que devrais-je faire de $|f(z)|\leq 100+ 2|z|^{7/2},       z\in C$ ?

Et pour la question 2 ?
Merci encore pour votre aide.

Dernière modification par Ardus (09-06-2020 23:34:24)

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#6 10-06-2020 12:46:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Fonctions entières

Ardus a écrit :

Ok , mais que devrais-je faire de $|f(z)|\leq 100+ 2|z|^{7/2},       z\in C$ ?

Comment démontres-tu que $f^{(4)}=0$ si ce n'est en utilisant cette question...

Et pour la question 2 ?
Merci encore pour votre aide.

Attention! Dans ce que tu as écrit, la fonction $g$ n'est pas holomorphe, à cause du module.
La fonction qui est holomorphe, c'est $g(z)=f(z)/e^z$. Elle est bornée donc....

F.

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