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#1 09-06-2020 14:08:36
- Ardus
- Membre
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- Messages : 20
Fonctions entières
Bonjour a tous,
J'espère que quelqu'un pourra me montrer comment aborder ce problème:
1)Décrire toutes les fonctions entières f telles que :
$|f(z)|\leq 100+ 2|z|^{7/2}, z\in C$
$f(1)=f(2)=f(3)=0 , f'(1)=4$
J'ai pensè d'utiliser l'egalitè $|f^{(n)}(z)|=\frac{n!}{r^{n}}max_\overset{D(0,r)}, {|f|} $
mais je n'arrive pas à finir.
2)Soit f une fonction entière telle que $|f(z)|\le|e^{z}|, z\in C $
$f(1)=0$. Trouver f(0).
Posons $g(z)=\frac{|f(z)|}{|e^{z}|}$ On aura $g(z)\le 1 , z\in C $
La fonction g est holomorphe et bornèe donc pour Liouville est constante.
Après je suis en peu perdu.
Merci d'avance pour votre aide.
Dernière modification par Ardus (09-06-2020 23:34:53)
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#3 09-06-2020 16:43:39
- Ardus
- Membre
- Inscription : 31-03-2020
- Messages : 20
Re : Fonctions entières
Merci.
J'avait deduit que $f^{(n)}=0$ pour $ n\ge 4$
Donc j'ai cherchè une fonction du type $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ telle que $f(1)=f(2)=f(3)=0 , f'(1)=4$
Je trouve $f(x)= 2x^{3}-12x^{2}+22x-12$
Mais je suppose que ce n'est pas la bonne méthode.
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#4 09-06-2020 21:14:16
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Fonctions entières
Pourquoi pas?
Tu aurais pu dire que $f(z)=\lambda (z-1)(z-2)(z-3)$ puisque $f$ s'annule en $1$, $2$ et $3$ et est un polynôme de degré au plus 3, et trouver la valeur de $\lambda$ en sachant que $f'(1)=4$.
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#6 10-06-2020 12:46:59
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Fonctions entières
Ok , mais que devrais-je faire de $|f(z)|\leq 100+ 2|z|^{7/2}, z\in C$ ?
Comment démontres-tu que $f^{(4)}=0$ si ce n'est en utilisant cette question...
Et pour la question 2 ?
Merci encore pour votre aide.
Attention! Dans ce que tu as écrit, la fonction $g$ n'est pas holomorphe, à cause du module.
La fonction qui est holomorphe, c'est $g(z)=f(z)/e^z$. Elle est bornée donc....
F.
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