Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 03-06-2020 18:58:22

Boualam
Invité

Diagonaliser une matrice

Bonsoir,

J'ai toujours eu du mal avec cette question : " Est-ce que la matrice "..." est diagonalisable ? " dans les QCM surtout...
J'ai eu très peu d'algèbre en L1 et sur internet je trouve plusieurs réponses ... J'aimerais savoir exactement ce qu'il faut montrer pour affirmer qu'une matrice est diagonalisable et dans quels cas on dit qu'elle est pas diagonalisable? ( si le déterminant = 0 ??)
Merci d'avance pour vos réponses :)

#2 03-06-2020 19:36:45

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 196

Re : Diagonaliser une matrice

Bonsoir !

Pour les critères de diagonalisibilité d'une matrice, tu en as pas mal, je te liste les plus utiles : 

Soit $n \in \mathbb N^*$. Soit $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$, avec $\mathbb K = \mathbb R$ ou $\mathbb C$.

1) $A$ est diagonalisable $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale, i.e. : $$\exists P \in \textrm{GL}_n(\mathbb K), \exists D \in \mathcal M_n(\mathbb K) \text{  diagonale}, A = PDP^{-1}.$$

2) $A$ est diagonalisable si et seulement si $\sum\limits_{\lambda \in \textrm{Sp}_{\mathbb K} A} \dim_{\mathbb K}(E_\lambda(A)) = n$ (avec $E_\lambda(A)$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$).

3) $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement s'il existe $P \in \mathbb K[X]$ simplement scindé non nul tel que $P(A) = 0$.

4) $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ si et seulement si $P(A) = 0$, avec $P = \prod\limits_{\lambda \in \textrm{Sp}_{\mathbb K} A} (X-\lambda)$.

N'hésite pas si tu as des questions !

Dernière modification par valoukanga (03-06-2020 19:39:11)

Hors ligne

#3 04-06-2020 08:18:36

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Diagonaliser une matrice

Salut,

si je peux me permettre, je te donne aussi ce lien interne, peut-être pourra t-il lui aussi t'éclairer.
Mais peut-être as tu besoin de revenir à encore plus fondamental, je ne sais pas.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#4 04-06-2020 19:21:02

Boualam
Invité

Re : Diagonaliser une matrice

Bonjour,

Un grand merci pour vos réponses! je vais regarder ça bien et essayer de trouver des exemples pour appliquer ces critères. :)

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
dix-neuf plus cinquante quatre
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums