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#1 02-06-2020 10:20:12

roger15
Membre
Inscription : 30-05-2020
Messages : 7

polynômes

Bonjour,

Je considère deux fractions rationnelles F et G appartenant à K(X).

F=A(X)/B(X)    G =C(X)/D(X)       Je pose T(X) = PPCM (B(X) , D(X)).


On a alors  F = A'(X)/T(X)    G =C'(X)/T(X)

J'aimerais savoir pourquoi T(X)   A'(X)   C'(X) sont premiers entre eux dans leur ensemble.


Merci

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#2 02-06-2020 10:36:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 634

Re : polynômes

Bonjour,

  Je pense qu'il y a une hypothèse que tu n'as pas précisé : il faut certainement supposer au départ que $A\wedge B=1$ et $C\wedge D=1$.

Tu peux écrire $T(X)=U(X)B(X)=V(X)D(X)$ ou $U\wedge V=1$. Supposons que $T,A'$ et $C'$ ne sont pas premiers entre eux, tu peux trouver un polynôme irréductible $E$ qui les divise tous les 3.

1er cas : $E\wedge U=1$. Dans ce cas, de $E|T=UB$, du déduis que $E|B$ et de $A'=UA$, tu déduis que $E|A$, contradiction.

2eme cas : $E|U$. Tu en déduis que $E|D$ et que $E|C$, une contradiction (il y a un petit raisonnement à faire, toujours basé sur le théorème de Gauss).

F.

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#3 02-06-2020 11:15:46

roger15
Membre
Inscription : 30-05-2020
Messages : 7

Re : polynômes

D'abord merci d'avoir regardé ma question.


  Pourquoi si le PGCD  de E et de U n'est pas 1 comme dans le premier cas c'est que E divise U comme tu l'écris dans le second cas?

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#4 02-06-2020 12:05:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 634

Re : polynômes

Parce que $E$ est un polynôme irréductible (l'équivalent d'un nombre premier).

F.

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#5 02-06-2020 13:16:58

roger15
Membre
Inscription : 30-05-2020
Messages : 7

Re : polynômes

Merci beaucoup.   

Est ce qu'il sera possible de m'aider de temps à autre?

Bonne journée.
David

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