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#1 26-05-2020 14:26:03
- Bill
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Séries de fonctions
Bonjour,
En travaillant sur les séries de fonctions, je suis tombé sur un cas que j’ai un peu de mal à aborder voici l’énoncé:
Soit a>0 un réel strictement positif. Soit phi: [-a,a] -> R une fonction continue sur [-a,a] qui vérifie : il existe une constante C>0 telle que pour tout x€[-a,a], |phi|<=C|x|. L’objectif de l’exercice est de déterminer les fonctions f: [-a,a] -> R telles que f(0) =0 et vérifiant la relation :
Pourtout x [-a,a], f(x)-f(x/2) =phi(x) (E)
1) montrer que la série de fonction \sum phi (x/2^n) est normalement convergente sur [-a,a]. On note f la somme de cette série.
2) montrer que f est continue, que f(0) =0, et que f vérifie la relation (E).
3) montrer que f est l’unique solution de (E) vérifiant f(0) =0.
4) on suppose de plus que phi est dérivable sur [-a,a] et que sa dérivée est bornée sur [-a,a]. Montrer que f est dérivable sur [-a,a].
Merci pour votre aide.
Dernière modification par Bill (26-05-2020 14:30:37)
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#7 27-05-2020 00:54:47
- Bill
- Membre
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Re : Séries de fonctions
Pour la deuxième, j’ai juste à appliquer la définition de la continuité ? Dans notre cas f sera continue si et seulement si la limite de f quand x tend vers zéro est égale à f(0) qui doit être égale à zéro ?
Que veut dire f vérifie la relation (E) ?
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#8 27-05-2020 07:02:47
- Fred
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Re : Séries de fonctions
$f$ est la somme d'une série de fontions : tu as un théorème dans ton cours qui t'assure que la somme d'une série de fonctions est continue.
Dire que $f$ vérifie la relation (E), c'est dire que pour tout $x\in[-a,a]$, $f(x)-f(x/2)=\phi(x)$.
F.
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#9 27-05-2020 11:38:28
- Bill
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Re : Séries de fonctions
Parfait merci, du coup pour la 3) je pensais partir sur une autre série g qui vérifierait les mêmes hypothèses que f puis aboutir à une contradiction, mais je ne vois pas comment matérialiser cette réflexion
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#10 27-05-2020 13:23:45
- Fred
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Re : Séries de fonctions
Tu n'es pas sûr que $g$ est définie par une série... Je partirais d'une autre fonction $g$ vérifiant $(E)$, différente de $f$, donc $f(x_0)\neq g(x_0)$, puis j'exploiterait la relation $f(x)-g(x)=f(x/2)-g(x/2)$ pour en déduire que $f(0)\neq g(0)$...
F.
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