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#1 23-05-2020 18:44:41

Dess1a
Invité

Hélice sphérique.

Bonjour,

je souhaite dessiner un escalier métallique,en deux dimension,de 550mm de large,sur un réservoir sphérique d'un rayon de 3450 mm.Le départ de l'escalier est au niveau de la méridienne(mileu de la sphère) et il effectue un demi tour pour rejoindre le garde corps qui se situe au sommet du réservoir. Noter que la pente de l'escalier est constante(le pas de l'hélice diminue au fur et à mesure que l'on s'approche du sommet de la sphère.
J'ai étudié l'hélice cylindrique mais qu'en est-il pour une hélice sphérique à pente constante?Pouvez-vous m'aider quelque peu à definir un tracé géométrique qui permet de dessiner cette hélice?Dans l'attente de réponse je vous souhaite un bon weekend.

Cordialement.

#2 26-05-2020 17:10:57

Dess1
Membre
Inscription : 23-05-2020
Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

Bonjour.Aucune de proposition?

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#3 26-05-2020 19:15:05

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 229

Re : Hélice sphérique.

Bonsoir,

Sujet pas simple du tout... Il me semble bien qu'on ne peut pas obtenir le développement parfaitement exact d'une sphère. C'est dommage  parce que ça "simplifierait" le problème...
Tu devrais regarder de côté : https://mathcurve.com/courbes3d/helices … eric.shtml, la doc de Geogebra donne ce lien en référence ou encore (Voir Hemispherical Helical) https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream … sAllowed=y si tu ne crains pas l'anglais...

Pour avoir quelque chose d'approché
- voir un manuel de tôlerie
- te pencher sur les systèmes de projection cartographiques terrestres par exemple ici : https://fr.wikiversity.org/wiki/Repr%C3 … 9sentation

J'espère que ça va t'aider...

Sinon, il n'y a plus qu'à attendre que Wiwaxia passe par là : c'est quelque chose qui me semble plus dans les cordes d'un Physicien...

@+


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#4 27-05-2020 15:56:15

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 198

Re : Hélice sphérique.

Bonjour,

Peut-être vais-je dire des bêtises, tant pis.

Je ne suis pas sûr qu'on puisse monter de "l'équateur" au "pôle Nord" en 1/2 tour en étant à pente constante.

En effet, près du sommet (Pôle Nord), la pente est quasi nulle.
Et si on part de l'équateur avec une même pente (donc quasi nulle), il faudra une quasi infinité de tours (très loin de 1/2 tour) pour arriver au sommet (Pôle Nord).

En oubliant la pente dans un premier temps, les équations paramétriques de la spirale devraient être (repère cartésien adéquat) :

Avec R le rayon de la sphère :

$x = \sqrt{R^2-z^2}.cos(t)$
$y = \sqrt{R^2-z^2}.sin(t)$
$z = f(t)$

Avec f(0) = 0 et f(Pi) = R

Reste à trouver une expression de f(t) qui "arrange" au mieux le problème.
Avec, je pense, l'impossibilité d'avoir une pente constante pour la raison mentionnée.

Toutes sottises incluses.

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#5 27-05-2020 18:40:08

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 920

Re : Hélice sphérique.

Bonsoir,

Si vous parlez de loxodromies alors ces courbes n'atteignent les pôles uniquement en un temps infini...

Roro.

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#6 27-05-2020 19:35:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 229

Re : Hélice sphérique.

B'soir,

Justement un des liens dit que hélice sphérique et loxodromie sont deux choses différentes...

Maintenant, c'est un domaine dans  lequel je ne m'aventure que sur l'extrême pointe des pieds.

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#7 28-05-2020 12:05:58

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 996

Re : Hélice sphérique.

Bonjour,
autre point de vue : dans un repère muni des coordonnées sphériques un point M partirait de (R,0,0)  où R est le rayon.
La pente constante de la trajectoire se traduirait par le fait que l'angle $\alpha=arcos \left(\large \frac {sin(\theta) \dot \phi}{\sqrt {sin^2(\theta) \dot \phi^2+\dot \theta^2}}\right)$ entre le vecteur vitesse $\vec {V(M)}$ et le vecteur $\vec {e_\phi}$ est constant ...

Dernière modification par Zebulor (29-05-2020 10:46:25)

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#8 05-06-2020 10:31:59

Dess1
Membre
Inscription : 23-05-2020
Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

Bonjour et merci à tous.
Juste une petite rectification.L'escalier part bien de l'équateur mais il rejoint le garde corps qui se situe au niveau de la calotte sphérique(environ...).
Est-ce que cela permet de tracé cette hélice à pente constante?

Cordialement,

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#9 06-06-2020 16:40:20

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 920

Re : Hélice sphérique.

Bonjour,

Que signifie le mot "pente" dans ton cas ?

Roro.

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#10 07-06-2020 07:33:13

Dess1
Membre
Inscription : 23-05-2020
Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

yoshi a écrit :

Bonsoir,

Sujet pas simple du tout... Il me semble bien qu'on ne peut pas obtenir le développement parfaitement exact d'une sphère. C'est dommage  parce que ça "simplifierait" le problème...
Tu devrais regarder de côté : https://mathcurve.com/courbes3d/helices … eric.shtml, la doc de Geogebra donne ce lien en référence ou encore (Voir Hemispherical Helical) https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream … sAllowed=y si tu ne crains pas l'anglais...

Pour avoir quelque chose d'approché
- voir un manuel de tôlerie
- te pencher sur les systèmes de projection cartographiques terrestres par exemple ici : https://fr.wikiversity.org/wiki/Repr%C3 … 9sentation



J'espère que ça va t'aider...

Sinon, il n'y a plus qu'à attendre que Wiwaxia passe par là : c'est quelque chose qui me semble plus dans les cordes d'un Physicien.

Bonjour,
Mon application CAO développe une sphère en la décomposant.En revanche,quel tracé permettrait de définir la courbe ?
Cordialement.
@+

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#11 07-06-2020 07:36:59

Dess1
Membre
Inscription : 23-05-2020
Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

Roro a écrit :

Bonjour,

Que signifie le mot "pente" dans ton cas ?

Roro.

Bonjour,

La pente de l'hélice est constante,le pas varie selon que l'hélice s'approche ou s'éloigne de la méridienne.

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#12 07-06-2020 07:48:30

Dess1
Membre
Inscription : 23-05-2020
Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

Roro a écrit :

Bonjour,

Que signifie le mot "pente" dans ton cas ?

Roro.

Bonjour,

La pente de l'hélice est constante,le pas varie selon que l'hélice s'approche ou s'éloigne de la méridienne.

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#13 07-06-2020 11:38:59

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 920

Re : Hélice sphérique.

Bonjour,

Mais ça ne répond pas à ma question : je demande que signifie "pente" et tu réponds "La pente de l'hélice est constante"...
Si c'est l'angle que fait la tangente à la trajectoire avec l'horizontale (les parallèles) alors il s'agit de loxodromies, sinon, je ne sais pas de quoi on parle.

Dans le cas de loxodromies, je pense on peut toujours relier 2 points de la sphère avec une telle courbe (sauf les pôles).

Roro.

Dernière modification par Roro (07-06-2020 11:39:26)

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#14 07-06-2020 12:19:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 229

Re : Hélice sphérique.

Re,


Site de référence :

https://mathcurve.com/courbes3d/helices … eric.shtml

J'y lis :

Les hélices sphériques sont les hélices, autrement dit les courbes de pente constante par rapport à un plan P donné, tracées sur une sphère.

On démontre que ce sont les courbes décrites par un point d'un grand cercle de la sphère roulant sans glisser sur un cercle fixe de cette sphère, parallèle au plan P ; ce sont donc des cas particuliers de cycloïdes sphériques , ainsi que de courbes des satellites ; elles possèdent des points de rebroussement situés sur le cercle fixe et son symétrique par rapport au centre de la sphère.
[Image]
Ici R est le rayon de la sphère, O son centre, $r=kR$, le rayon du cercle fixe ; la pente constante est :
$p= \dfrac{k}{\sqrt{1-k^2}}=\dfrac{q}{\sqrt{4q+1}}$,

p net q sont visibles dans ce qui précède sur le site.

Après on trouve encore :

Les hélices sphériques sont aussi les développantes de cône de révolution (lieux d'un point d'un plan roulant sans glisser sur le cone) ; l'hélice ci-dessus est une développante du cône de révolution passant par les deux cercles de roulement.


Ne pas confondre ces courbes avec les loxodromies, dont les tangentes font un angle constant, non avec un plan, mais avec les méridiens, ni avec les clélies. [image d'une hélice à côté et en dessous de l'image cette légende:
Hélice sphérique de pente 10% ; elle ressemble à une loxodromie, mais contrairement à celles-ci, les points extrêmes ne sont pas des points asymptotes. ]

Mes compétences se limitent là...

@+


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#15 07-06-2020 14:34:29

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 920

Re : Hélice sphérique.

Merci Yoshi.

En tes termes ma question serait donc

"la pente évoquée par Dess1 est-elle considérée par rapport à un plan fixe, ou par rapport aux méridiens ?"

Dans les deux cas, le site que tu indiques donne pas mal de réponse...

Roro.

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#16 07-06-2020 14:40:45

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 229

Re : Hélice sphérique.

Re,

Dans les deux cas, le site que tu indiques donne pas mal de réponse...

Certes, mais je suis "un peu" (euphémisme, je n'ai plus le cerveau de mes 20 ans) dépassé...

C'est le seul site abordable qui traite du sujet : pratiquement tous les autres parlent de l'hélice cylindrique.

@+


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#17 07-06-2020 18:52:51

Dess1
Membre
Inscription : 23-05-2020
Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

Roro a écrit :

Bonjour,

Mais ça ne répond pas à ma question : je demande que signifie "pente" et tu réponds "La pente de l'hélice est constante"...
Si c'est l'angle que fait la tangente à la trajectoire avec l'horizontale (les parallèles) alors il s'agit de loxodromies, sinon, je ne sais pas de quoi on parle.

Dans le cas de loxodromies, je pense on peut toujours relier 2 points de la sphère avec une telle courbe (sauf les pôles).

Roro.

Re bonjour.

Comme pour l'hélice cylindrique, une pente constante dont on mesure l'angle sur le développé.Excuse-moi je n'ai que quelques notions.

Cordialement,

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#18 07-06-2020 19:26:28

Dess1
Membre
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Messages : 11

Re : Hélice sphérique.

yoshi a écrit :

Re,


Site de référence :

https://mathcurve.com/courbes3d/helices … eric.shtml

J'y lis :

Les hélices sphériques sont les hélices, autrement dit les courbes de pente constante par rapport à un plan P donné, tracées sur une sphère.

On démontre que ce sont les courbes décrites par un point d'un grand cercle de la sphère roulant sans glisser sur un cercle fixe de cette sphère, parallèle au plan P ; ce sont donc des cas particuliers de cycloïdes sphériques , ainsi que de courbes des satellites ; elles possèdent des points de rebroussement situés sur le cercle fixe et son symétrique par rapport au centre de la sphère.
[Image]
Ici R est le rayon de la sphère, O son centre, $r=kR$, le rayon du cercle fixe ; la pente constante est :
$p= \dfrac{k}{\sqrt{1-k^2}}=\dfrac{q}{\sqrt{4q+1}}$,

p net q sont visibles dans ce qui précède sur le site.

Après on trouve encore :

Les hélices sphériques sont aussi les développantes de cône de révolution (lieux d'un point d'un plan roulant sans glisser sur le cone
) ; l'hélice ci-dessus est une développante du cône de révolution passant par les deux cercles de roulement.


Ne pas confondre ces courbes avec les loxodromies, dont les tangentes font un angle constant, non avec un plan, mais avec les méridiens, ni avec les clélies. [image d'une hélice à côté et en dessous de l'image cette légende:
Hélice sphérique de pente 10% ; elle ressemble à une loxodromie, mais contrairement à celles-ci, les points extrêmes ne sont pas des points asymptotes. ]

Mes compétences se limitent là...

@+

C'est trop compliqué pour moi.Je n'ai pas ce niveau de connaissances. Je ne sais pas interpréter tous ces calculs ni même le vocabulaire. J'ai  étudié l'hélice cylindrique mais graphiquement.Merci quand même.
Cordialement,

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#19 07-06-2020 19:31:16

yoshi
Modo Ferox
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Re : Hélice sphérique.

Repasse de temps en temps.
Le Physicien Wiwaxia me semble être en mesure de te simplifier la vie.

Il passe assez régulièrement.
Je vais déplacer ce message pour qu'il y ait davantage de chance qu'il le voie et y répondre

@+


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#20 11-06-2020 08:46:50

Dess1
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Re : Hélice sphérique.

Bonjour,Peut-on poster une image sur le site(depuis le pc)?Sur mon livre,on aborde brievement ce sujet.

Cordialement,

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#21 11-06-2020 12:17:27

yoshi
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Re : Hélice sphérique.

Ave,

Le plus simple :
tu déposes ton image sur https//www.cjoint.com.
Tu vas obtenir un lien que tu vas insérer dans ton prochain post au moyen de la 4r icone en partant de la droite de la barre d'outils des messages (la sphère verte)

@+


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#22 11-06-2020 13:47:15

Dess1
Membre
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Re : Hélice sphérique.

https://www.cjoint.com/c/JFlnR6xka70
Dans ce cas ils disent:La pente de l'hélice est constante,le pas varie selon que l'hélice s'approche ou s'éloigne de la méridienne.

Quel tracé graphique permet d'obtenir cette courbe?

Dernière modification par Dess1 (11-06-2020 13:50:26)

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#23 11-06-2020 14:53:00

yoshi
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Re : Hélice sphérique.

Bonjour,

Tu écris "cette courbe" : laquelle ?
Celle à l'intérieur du cercle en bas ?

On dirait une projection orthogonale (en vue dessus) sur un plan horizontal qui semble donner une spirale...
Sinon, si je ne me trompe pas, ici, en dessous des formules :
https://mathcurve.com/courbes3d/clelie/clelie.shtml
la courbe en rouge (animation) semble bien être ce que tu cherches...

Je vais chercher à partir du mot "clélie"...

@+


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#24 11-06-2020 15:13:24

Dess1
Membre
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Re : Hélice sphérique.

yoshi a écrit :

Bonjour,

Tu écris "cette courbe" : laquelle ?
Celle à l'intérieur du cercle en bas ?

On dirait une projection orthogonale (en vue dessus) sur un plan horizontal qui semble donner une spirale...
Sinon, si je ne me trompe pas, ici, en dessous des formules :
https://mathcurve.com/courbes3d/clelie/clelie.shtml
la courbe en rouge (animation) semble bien être ce que tu cherches...

Je vais chercher à partir du mot "clélie"...



@+

Oui c'est une projection orthogonale ( une vue de face en haut et une vue de dessus,la spirale).

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#25 11-06-2020 15:40:19

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 15 229

Re : Hélice sphérique.

Il y a encore ça : https://www.geogebra.org/m/W9mHzcUJ mais aucune explication sur le tracé. Dommage...
Et clélie ramène vite sur mathcurve...

Sur ton dessin, la spirale devrait être du type logarithmique.
Ainsi que je te l'avais déjà suggéré, sauf si la précision de ton tracé en 3D doit être maximale, pour des valeurs approchées acceptables, je pense que tu devrais t'intéresser à une méthode de cartographie du globe terrestre comme par exemple ici :
UNE projection azimutale qui transforme les parallèles en cercles concentriques et les demi-méridiens en rayons.
En se plaçant n'importe où sur l'équateur, on trace alors une spirale logarithmique qui passe par le centre (pôle)en un demi-tour...

Je ne peux guère faire mieux, cette histoire de clélie dépasse mes compétences (et si j'en crois le nombre d'intervenants, peu de monde est capable de répondre)


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