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#1 13-05-2020 01:21:21
- Johned931
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Compacité/complétude
Bonjour,
Dans la définition séquentielle de la compacité, la limite de la sous-suite existante doit-elle appartenir à l'ensemble ?
Idem pour la complétude : la limite d'une suite de Cauchy doit-elle appartenir à l'ensemble global qu'on considère ?
Je trouve des définitions différentes selon les sources.
Merci
Dernière modification par Johned931 (13-05-2020 15:28:25)
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#2 13-05-2020 01:59:04
- Guitout
- Membre
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- Messages : 61
Re : Compacité/complétude
Bonsoir,
D'après mes cours, [tex](E,||\cdot||_E)[/tex] est dit complet si toutes les suites Cauchy de [tex]E[/tex] converge dans [tex]E[/tex]. Autrement dit, tu prends une suite de Cauchy [tex]u_n[/tex] qui vit dans [tex]E[/tex] et avec les particularités de [tex]u_n[/tex] et de la norme [tex]||\cdot||_E[/tex], tu essayes de prouver que la limite de [tex]u_n[/tex] (que l'on notera [tex]\ell[/tex]) est dans [tex]E[/tex]. Et comme [tex]E[/tex] est muni d'une norme, il te faudra montrer que [tex]||u_n-\ell||_E\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0[/tex].
Pour la compacité, tu peux montrer que c'est complet, fermé et bornée.
NB : Je ne suis pas un pro (j'ai découvert la topologie cette année)^^ donc n'hésite surtout pas à remettre en doute si ce que je dit te parais bizarre.
Dernière modification par Guitout (13-05-2020 03:21:50)
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