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#1 11-04-2020 13:19:37

N. auf Kappa
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Messages : 2

Question sur la fonction zêta de Riemann et sur l'hypothèse de Riemann

Bonjour,

Comme le titre l'indique, ma question porte sur la fonction zêta de Riemann (qui, pour rappel, associe à tout nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1 la somme des inverses des puissances de s, et qui, par prolongement analytique, se prolonge à tout le plan complexe sauf au point s=1).

Alors voilà, tout d'abord, je ne prétend en aucun cas avoir prouvé l'Hypothèse de Riemann ni même d'avoir fait la moindre avancée dans ce domaine. Ma question est purement interrogative. De plus, n'oubliez pas que je suis sûr et certain qu'il y a une erreur dans ce raisonnement (sûrement une erreur de rigueur), je n'arrive seulement pas à trouver où elle est.

Bref,

Supposons un domaine dépendant d'un paramètre [tex]\Omega \in \mathbb{R}^+_*[/tex] que l'on appelle [tex]K(\Omega)[/tex] et défini par [tex]K(\Omega) = \{ x+iy, \Omega > y > 0, 1/2 < x < 1 \}[/tex]. Alors, [tex]\forall \Omega \in \mathbb{R}^+_*, K(\Omega)[/tex] est un sous ensemble ouvert et simplement connexe du plan complexe.
On a donc, par application du principe de l'argument : [tex]\int_{\partial K(\Omega)} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}ds = Z - P[/tex] où Z (resp. P) représente le nombre de zéros (resp. de pôles) de la fonction zêta de Riemann dans l'ensemble [tex]K(\Omega)[/tex] et où [tex]\partial K(\Omega)[/tex] est grosso modo la bordure de K, donc définie par un rectangle de longueur [tex]\Omega[/tex] et de largeur [tex]1/2[/tex] et dont le coin inférieur gauche est situé à "une distance infinitésimale sur l'axe des réels et vers la droite" du point [tex](1/2,0)[/tex].

Appelons cette dernière intégrale [tex]I(\Omega)[/tex]. Ensuite, par application du théorème des résidus (ce qui est possible car K est un ouvert simplement connexe), on trouve que, puisque zêta n'a pas de pôles dans [tex]K(\Omega)[/tex], [tex]I(\Omega) = 0[/tex], et ce, pour tout [tex]\Omega[/tex] réel positif. Maintenant, si on fait tendre Oméga vers l'infini positif, on trouve que l'intégrale est égale à 0 pour un Oméga infini.

On a donc [tex]Z - P = 0[/tex] donc [tex]Z=P[/tex] et puisque zêta n'a pas de pôles, on a [tex]Z=0[/tex]. Par symétrie des zéros non triviaux par rapport à la droite critique, et par le passage à la limite de [tex]\Omega[/tex], on en déduit que zêta n'a pas de zéros non triviaux hors de la droite critique.

Si je suis aussi convaincu que c'est une erreur de rigueur, c'est parce que je n'ai pas appris tout cela dans le cadre scolaire, je ne suis qu'un élève de Première qui a appris de bonnes bases, en analyse complexe entre autres, en autodidacte sur son temps libre. Je n'ai donc pas reçu d'enseignement rigoureux et scolaire (du moins pas encore).

Je vous remercie de votre attention et de votre lecture. À bientôt.

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#2 12-04-2020 13:28:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Question sur la fonction zêta de Riemann et sur l'hypothèse de Riemann

Bonjour,

  Pour intégrer sur le bord de ce compact, il faudrait que la fonction $\zeta'/\zeta$ soit définie sur le bord. Mais pour qu'elle soit définie, il faudrait que $\zeta$ n'ait pas de zéro sur la droite critique, exactement ce que tu cherches à démontrer.

F.

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#3 12-04-2020 13:46:55

N. auf Kappa
Membre
Inscription : 11-04-2020
Messages : 2

Re : Question sur la fonction zêta de Riemann et sur l'hypothèse de Riemann

J'en prend note, merci beaucoup de votre réponse !

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