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Tmota

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Groupe cyclique et équivalence

Bonjour,

je dois faire l'exercice suivant :

On note de façon additive un groupe $(G,+)$.
On suppose que $card(G)=n$.

Je dois montrer que $G$ est cyclique ssi il existe dans $G$ un élément d'ordre $n$.

Preuve :
$\Rightarrow$

Je suppose qu'il existe $g\in G$ tel que $o(g)=n$.

Comme $g\in G$, alors $<g>\subset G$.

Comme $o(g)=card(<g>)=n=card(G)$, alors en particulier $card(<g>)=card(G)$.

Par conséquent, $<g>\subset G$ et $card(<g>)=card(G)$ implique $G=<g>$.

Donc $G$ est cyclique.

Je coince sur la réciproque.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

Fred

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Re : Groupe cyclique et équivalence

Bonjour,

  Dans n'importe quel groupe, si tu prends un élément $a$ d'ordre $m$, le sous-groupe engendré par $a$ comporte exactement $m$ éléments....

F.

Tmota

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Re : Groupe cyclique et équivalence

Je suppose que $G$ est cyclique.

Alors il existe un élément $g$ de $G$ qui l'engendre : $G=<g>$.

Par conséquent $card(<g>)=card(G)$, soit $o(g)=n$.

Et donc il existe bien un élément $g$ d'ordre $n$.

C'était évident !

Dernière modification par Tmota (08-04-2020 17:09:41)