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ccapucine

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Suite de Picard

Bonjour
On cherche à montrer que la solution $y_m$ du problème $
\frac{d}{dt} y_m (t) = f ( t , y_m (t) )   pour t > 0 ,   y_m(0) = \eta_m ,
$converge vers la solution $ y_0 (t) $ du problème de Cauchy $
\frac{d}{dt} y_0 (t) = f ( t, y_0 (t) )   pour t > 0 ,   y_0 (0) = \eta_0 , $sous la condition que $\eta_m \to \eta_0   pour m \to \infty . $
Naturellement on suppose la régularité de $ f (t , y) $. En posant
$L = \sup_{ t, y } | \partial_y f ( t , y ) | , $on a $| f ( t , y_m (t) )  - f ( t , y_0 (t) ) | \leq L | y_m(t) - y_0 (t) | . $Ici $ L $ ne dépend pas de $ m $. D'autre part, si on pose
Ma question est: avec toutes ces relaions, comment montrer que  $ y_m(t) \to y_0 (t) $ pour $ m \to \infty $?

Bien cordialement

Dernière modification par ccapucine (06-04-2020 02:09:20)

Maenwe

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Re : Suite de Picard

Bonjour,
est-ce que tu n'aurais pas une régularité plus forte sur $f$, du type :
$|f(t,g_1(t))-f(t,g_2(t))| \leq L |g_1(t) - g_2(t) |$ ?