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STASIAK

Invité

Arithmétique modulaire, méthode de Dan Schwarz

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Bonjour, je planche sur un certain problème d’arithmétique qui me bloque, je me disais que la méthode de Dan schwarz pouvait au premier abord résoudre mon problème,l'ennuie c'est l’idée de la méthode m'est assez confus
Voici la méthode:
Pour les équations de type a^x = b^y +c (avec a, b, c connus et x et y connus) ayant un nombre fini de
solutions, on considère (x0, y0) la “plus grande”, en supposant x > x0, y > y0 on la retranche à l’équation originelle pour obtenir a^x0(a^(x-x0) -1)= b^y0(b^(y-yo) -1) Quand a et b sont premiers entre eux, on a alors a^x0 qui divise b^(y-y0) -1. Si ω est l’ordre de b modulo a^x0 , on en déduit que b^(ω − 1) divise b^(y-y0)-1 et donc divise a^(x-x0) -1.

On trouve alors un diviseur premier sympathique de b^(ω − 1) et on continue de proche en proche (on peut aussi partir du fait que b^y0 divise a^(x-x0) jusqu’à aboutir à une contradiction. C’est la méthode de Dan Schwarz.

La première partie ne me pose pas de problème, mais je suis perdue dans la deuxième partie.Ainsi, je ne comprend pas bien comment et pourquoi trouver des diviseur premier sympathique. Je met l'exemple d'un exercice type avec sa correction et l'endroit ou je bloque:
    Trouver tous les entiers m, n ≥ 0 tels que 3^m − 7^n=2
Correction:
On vérifie qu’il n’y a qu’une seule solution pour m ≤ 2 : (m, n) = (2, 1). On suppose
donc que m ≥ 3 et n ≥ 2. On applique la méthode de Dan Schwarz en réécrivant l’équation sous la forme 3^2(3^(m-2)-1)=7(7^(n-1)-1).
Ainsi 3^2 | 7^(n-1)-1.
Or l’ordre de 7 modulo 32 vaut 3.
Donc 19 | 7^3 -1 | 7^(n-1) -1               
*Je ne comprend pas d'ou viens ce 19? Les étapes qui suivent me paraissent donc également floue, mais je suppose qu'en comprenant l'origine du 19 je comprendrais la contradiction?
de sorte que 19 | 3^(m-2)-1
Or l’ordre de 3 modulo 19 vaut 18. Donc 37 | 3^(18-1)|3^(m-2)-1
de sorte que 37 | 7^(n-1)-1.
Or l’ordre de 7 modulo 37 vaut 9. Donc 3^3|7^9 -1|7^(n-1)-1
de sorte que 3^3| 3^2(3^(m-2)-1)
C’est absurde, il n’y a donc pas d’autres solutions.

Merci d'avance a tous ceux qui tenterons de me fournir une autre explication!

PS: C'est mon premier post sur le forum, cette méthode ne figure a priori ni dans le programme de terminale, ni de sup, je ne savais donc pas vraiment ou le poster. Je m'excuse d'avance si c'est le mauvais endroit.

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