Dm produit scalaire

yannD · 31-03-2020 11:45:43

Bonjour, j'ai un Dm à rendre et je précise qu'avec le confinement je n'ai pas eu cour à ce sujet et je sais simplement faire la 1 et si quelqu'un pouvait m'aider pour les calculs je serait très reconnaissant. Merci d'avance;

ABC triangle rectangle isocèle en B avec [tex]AC= \sqrt{32}[/tex]

1. Calculer AB

2. Sans justification :
-> [tex]\vec{AB}.\vec{AC}[/tex] vaut?
-> [tex](\vec{CD},\vec{CA})[/tex] vaut?
->[tex]\vec{CD}.\vec{CA}[/tex] vaut?
-> [tex](\vec{CD},\vec{CB})[/tex] vaut?
->[tex]\vec{CD}.\vec{CB}[/tex] vaut? (arrondie à 10^-3)
-> [tex]\vec{BC}.\vec{CA}[/tex] vaut?

3a. Justifier que [tex]\vec{BD}.\vec{CA}=\vec{CD}.\vec{CA} - \vec{CB}. \vec{CA}[/tex]
3b. Calculer ainsi [tex]\vec{BD}.\vec{CA}[/tex]
3c. Que pouvez-vous conclure pour les droites (BD) et (AC) ?

yoshi · 31-03-2020 16:23:39

Bonjour,

Ce sur quoi tu travailles se nomme : Produit scalaire de 2 vecteurs.
le symbole de la multiplication que tu connais est x
25 x 14 est un produit, ce produit est égal à 14 x 25 une autre façon d'écrire ces produits est 350.
Si j'écris 25 x 14 = 14 x 25 = 350 j'ai utilisé une multiplication.

Le produit de deux nombres réels a et b est aussi un réel, ces nombres sont des scalaires.
Le mot scalaire vient du latin scala qui signifie « échelle » (pour grimper) ou « graduation » (les barreaux de l’échelle).
Plus tard, en mathématique, ce terme a été utilisé pour nommer l’idée de graduation sur une latte ou une règle.
Il s’agit donc d’un terme qui exprime la notion de grandeur standard pour mesurer.

La multiplication de deux vecteurs sur laquelle tu vas travailler a pour symbole . (le point)
Cette multiplication de deux vecteurs donne un résultat qui est un nombre réel, c'est pourquoi le produit est nommé produit scalaire.
(N-B : Sache qu'il existe une autre multiplication deux vecteurs qui donne, elle, un vecteur... Pour cette raison se nomme produit vectoriel
vectoriel. Sauf erreur, elle a été retirée des programmes)

Une notation ne t'es peut-être pas familière $||\overrightarrow{AB}||$ elle signifie (et se lit "norme du vecteur" AB)
$||\overrightarrow{AB}||=d(A,B)$, la distance de A à B (en gros : AB, la longueur AB)
Ce produit scalaire se calcule d'abord ainsi (c'est une définition) :
Si $\alpha$ désigne l'angle que font les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}||\times \cos \alpha$ (*)

De cette définition, il vient immédiatement,
si ces vecteurs ont des directions perpendiculaires, donc s'ils font un angle de $\pi/2$ que :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}||\times \cos\pi/2=||
\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}||\times 0 =0$

Tu peux jouer aussi comme ça :
$\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}) =\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$
Tu peux utiliser la distributivité dans un sens pour développer et dans l'autre pour factoriser.
Tu peux aussi utiliser la double distributivité
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}).(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{BD}$
Les propriétés des vecteurs q'appliquent évidemment :
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{DC}.(-\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{CA}$

Venons-en à ton DM
1. Qu'as-tu trouvé pour AB ?
2. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ Hmmm...
Pas de justification dit-il... Certes mais on ne connaît pas la définition donné plus haut - voir (*), comment répondre ???
Bon, cette définition, tu l'as, tu connais AB et AC, quant à l'angle des 2 vecteurs :
ABC est un tr. rect. et isocèle en B, donc la moitié d'un carré, tu vas le trouver facilement...
Ensuite, à partir de là souci :
où est donc ce point D ? Il n'apparaît pas dans ton énoncé !
Tu as déjà vu "les angles orientés", c à d les angles comme celui là : $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA})$ ?

@+

yannD · 31-03-2020 17:22:40

Salut Yoshi, merci d'être là pour nous aider.. merci d'avoir répondu
alors, j'ai un dessin qui va avec l'exercice mais je n'ai pas de Scan

yoshi · 31-03-2020 17:55:36

Essaie de me décrire la position du point D.
Dans le triangle ?
sur le triangle ?
A l'extérieur ?

Précise...

Ou alors,
si tu as un smartphone, une tablette, prends une photo si tu sais comment l'envoyer qq part...

yannD · 31-03-2020 19:00:05

alors, position pour le point D à l'extérieur du triangle ABC
et pour prendre une photo , j'y ai pensé mais le câble de connexion pour le smartphone s'est dénudé à une borne
j'ai appris la leçon que tu as donné en 1 heure, elle est génial ! tu t'exprimes bien ...

yoshi · 31-03-2020 19:18:03

Bon, à l'extérieur...
Il doit bien avoir une position spéciale qui te permet de trouver facilement l'angle entre les vecteurs : $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA})$...

D est-il du même côté que B par rapport à (AC) ?
De l'autre côté ?
Est-ce que BCDA pourrait être un carré ?
Si la réponse est non :
Le triangle ACD te semble t-il équilatéral ?

Pour la photo.
To smartphone est relié par wifi à ta Box...
Si tu prends le cliché, et que tu connectes ton smartphone à Internet via la Box, tu enrefistres ton cliché sur ton phone et de là tu l'expédies chez ton hébergeur d'images...
Mais on va bien réussir à cerner sa position...

yannD · 31-03-2020 19:23:44

DCA me semble équilatéral
https://zupimages.net/up/20/14/56hi.png

yannD · 31-03-2020 19:36:19

Calcul de AB
Pythagore : $CB^2+BA^2=AC^2$
Puisque le triangle est isocèle et rectangle en B alors $CB = BA$
$CB^2 = BA^2+BA^2$
$\sqrt{32}^2 = 2\times BA^2$
$32 = 2\times BA^2<=>\dfrac{32}{2} = BA^2 <=> 16 = BA^2$
D'où $BA = \sqrt{16} $

yoshi · 31-03-2020 20:00:56

Salut,

Oui
Et $\sqrt{16}$ pourquoi ne pas donner une valeur avec une écriture plus simple ?

Mais, je vois le dessin. ok...
Hmmm... ce dessin me choque...
Si je prends le carreau pour unité
BA = BC = 6 et $AC = \sqrt 6^2\times 2 =\sqrt{72}=6\sqrt 2$ et non $\sqrt{32}=4\sqrt 2$ comme dit dans l'énoncé, alors ?

Quoi qu'il en soit $AD =CD=\sqrt {2^2+8^2}=\sqrt {68}=2\sqrt{17}$
Ton triangle est isocèle en D et non équilatéral.
Alors pas de valeur exacte pour l'angle, valeur approchée --> calculatrice

Le dessin est une copie du dessin d'origine ou l'as-tu refait ?

Je vais voir maintenant les autres questions.

@+

yannD · 31-03-2020 20:05:21

J'ai refait le dessin

yannD · 31-03-2020 20:23:59

$\sqrt{16} = 4 $ ou $-4$
Pour les autres questions, c'est vraiment tout nouveau pour moi

yoshi · 31-03-2020 21:27:21

B'soir,

Une racine carrée est toujours positive : $\sqrt{16}=4$

T'as refait le dessin ?
Et bin il est faux.....
Je l'ai refait avec unité le cm :
- J'ai tracé un rectangle rectangle et isocèle comme tu l'as fait mais avec BA = BC = 4 cm
- J'ai tracé en dehors du triangle CBA, deux arcs de cercle qui se coupent en D :
* l'un de centre A et de rayon AC
* l'autre de centre C et de rayon AC.

Ton hypothèse était juste. Il faut bien que CDA soit équilatéral... sinon le pb est infaisable pour un débutant de la leçon !
Donc pourquoi, les questions ?
Pour arriver à la fin, à montrern que $ \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CA}= 0$ (3.b) et en conclure (3.c) que ... réponse dans le bout de leçon fait, ou si tu traces [BD], tu verras comment sont placées les droites (AC) et (BD).
Cela dit, on peut le prouver aussi avec de la Géométrie de 4e...
Revenons à nos moutons..
Pourquoi 0 ?
Avant (Q2) on t'a fait calculer en te servant de la définition les produits scalaires $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$ : ces produits scalaires étant égaux, leur différence est nulle.

Pour que tu penses bien à utiliser la définition, l'exercice te demande la valeur de l'angle fait par les deux vecteurs : ce sont des valeurs standards sans surprises. La valeur cosinus est - en principe - connu par cœur (et en prenant les valeurs exactes s'pas, donc en gardant la racine, hein !)

Et la Q2 commence vraiment par une "mise en jambes" qui te de demande de calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ qui ne sert pas après...

La seule difficulté éventuelle est la question 3.a...Clé : relation de Chasles puis développement (cf. #2). On en reparlera...

@+

yannD · 03-04-2020 14:40:58

Bonjour Yoshi, comment trouves tu $2\sqrt{17}$ pour AB et CD ?

yoshi · 03-04-2020 15:33:37

Re,

Je vais te répondre, mais tu gaspilles ton énergie : le long post qui a suivi n'a-t-il donc aucun intérêt ?
Je compte les carreaux avec le drssin que tu as posté :
AD
horizontalement : 2 ($x_D-x_A$)
verticalement : 8 ($y_D-y_A$)
longueur : $\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{ 4+64}=\sqrt{68}=\sqrt{4 \times 17}=\sqrt{4}\times \sqrt{17}=2\sqrt{17}$

CD
horizontalement : 8 ($x_D-x_C$)
verticalement : 2 ($y_D-y_C$)
longueur : $\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$
Quant à AB et BC, je te rappelle qu'en prenant comme unité le carreau, on devrait avoir BA = BC = 4. Sur ton dessin BA = BC = 6...
Donc AC aussi est faux.

Pour la suite, si tu veux arriver à montrer que les deux produis scalaires sont égaux, ADC doit être équilatéral... On doit donc avoir :
$AD = CD = AC = \sqrt{32}=4\sqrt 2$

yannD · 03-04-2020 16:15:55

Le problème est que pour le point D rien n'est dit dans l'énoncé et quand on regarde le schéma on voit que DCA est équilatéral

yoshi · 03-04-2020 16:20:39

Mais si ACD est équilatéral alors $AC=CD =AD =\sqrt{32}$, te prends pas le chou avec ça...
AC est donné par ton énoncé, et ton calcul de AB et BC est juste...
Alors, fais le boulot avec ce que je te dis, tu verras que j'ai raison.

Ton exo te fait peur ?

yannD · 03-04-2020 16:36:48

C'est surtout que je n'ai pas eu de cours en classe sur les produits scalaires

yoshi · 03-04-2020 16:45:53

Oui, et alors...

Je te répète que ce que je t'ai expliqué est suffisant pour faire ton exercice :
- qui n'est pas difficile
- dont le seul point délicat est un problème de relation de Chasles sans rapport avec le produit scalaire.

C'est pour ça que tu joues les autruches ?

Allez, hop ! Lance-toi !!!!

yannD · 03-04-2020 17:10:29

AB = 4
AC = $\sqrt{32}$

on me demande de calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos \alpha$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos \left(\frac{4}{\sqrt{32}} \right)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 4\sqrt{32} \times cos \left(\frac{4}{\sqrt{32}}\right) = 17,20 $

Dernière modification par yannD (03-04-2020 17:15:51)

yannD · 03-04-2020 17:43:50

$(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA}) = cos \left(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}} \right)= 5,6568$
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}=||\overrightarrow{CD}||\times ||\overrightarrow{CA}||\times \cos (CD,CA)$
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA} = 11,311$

Dernière modification par yannD (03-04-2020 17:46:53)

yoshi · 03-04-2020 17:57:20

Petit problème sans rapport avec le produit scalaire.
Depuis quand un des angles aigus dans le triangle rectangle s'obtient-il en divisant côté adjacent par hypoténuse ?
Non, ça ce n'est pas la valeur de l'angle...
$\dfrac{4}{\sqrt {32}}$ c'est quoi alors ?
En outre, vous avez tous (ou presque) la même manie : vous refusez d'utiliser les écritures simplifiées...
Et pourtant :
$\dfrac{4}{\sqrt {32}}=\dfrac{4}{4\sqrt {2}}=\dfrac{1}{\sqrt {2}}$
Et par convention, on s'efforce de ne pas laisser de racine au dénominateur :
$\dfrac{4}{\sqrt {32}}=\dfrac{4}{4\sqrt {2}}=\dfrac{1}{\sqrt {2}}=\dfrac{1\times \sqrt 2}{\sqrt 2\times \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$
Et cette valeur ne te rappelle donc rien ? Pourtant en 1ere, elle doit être connue par cœur...
Bon, une fois arrivé là, tu as encore à répondre à ma question...
Non, $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ n'est pas la mesure de l'angle $\hat A$, qu'est-ce que c'est donc ?
Mais ça si bien un moyen de trouver ce qu'on te demande, c'est aussi réinventer la roue !

Ah.... Je crois comprendre...
C'est $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ qui t'a induit en erreur.

Je t'avais demandé si tu connaissais cette notation : tu n'as pas répondu...
Visiblement, la réponse doit être non : c'est l'angle orienté (avec un signe + ou -) dont tourne le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dans le triangle, pour aller se positionner sur (AC). (+ dans le sens trigo, - dans l'autre).
Donc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$
Et là, les angles orientés ne sont pas importants.
Pourquoi ?
Parce que $\cos \alpha=\cos(-\alpha)$... Donc le le signe de l'angle n'a aucune importance...

Travaille donc avec la formule :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times||\overrightarrow{AC}||\cos \widehat {BAC}$

C'est en effet réinventer la roue parce que ton triangle étant rectangle et isocèle en B, combien mesure l'angle $\hat A$ ?
Quelle est la valeur exacte (à savoir par cœur ainsi que déjà dit) de son cosinus ?

Quand tu auras rectifié ce point, complète et finis ton calcul :
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 4\times 4\sqrt 2\times \cos \widehat{BAC}$...
Tu verras que c'est simple !

yannD · 03-04-2020 18:34:09

dans le triangle ABC rectangle en B , l'angle C est aigu
et pour calculer le cosinus de l'angle C
je mesure d'abord la longueur CB qui vaut 4
je mesure AC qui ici , vaut $\sqrt{32}$
je calcule le rapport CB/CA et si je tape cosinus 45° je trouve le même résultat
ce n'est pas ça ?

yoshi · 03-04-2020 18:35:41

Post #20 même erreur.

1. L'angle $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA})$ c'est l'angle $\widehat{DCA}$, l'un des angles du triangle équilatéral DCA.
Combien mesure-t-il ? Combien vaut le cosinus de cet angle ?

2. Quand tu écris $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA}) = cos \left(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}} \right)$
Tu écris angle = cosinus, un peu comme si tu confondais un plat de pâtes avec les pâtes elles-mêmes

3. Rappel : Tu ne sais calculer sin, cos, tan avec les quotients de côtés que dans un triangle rectangle... Là, tu es dans un triangle équilatéral !
Donc, pas d'autre choix que de répondre à ces deux questions :
Combien mesure $\widehat{DCA}$ ?
Combien vaut le cosinus de cet angle ?

Ces réponses apportées, tu calcules ton produit scalaire :
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CA}= CD \times CA \times cos(\widehat{DCA})$

Tous ces détails à régler sont des confusions en trigonométrie niveau 4e (cos) 3e (si, tan) et revus l'an dernier...

Le produit scalaire n'est pas en cause : il n'est que le révélateur de ces confusions...

yannD · 03-04-2020 18:45:58

Attends, je suis encore au #21 :
dans le triangle ABC rectangle en B , l'angle C est aigu
et pour calculer le cosinus de l'angle C
je mesure d'abord la longueur CB qui vaut 4
je mesure AC qui ici , vaut $\sqrt{32}$
je calcule le rapport CB/CA et si je tape cosinus 45° je trouve le même résultat
ce n'est pas ça ?

yoshi · 03-04-2020 18:50:43

Re,

1. Oui. Laisse-moi le temps de répondre...
$\cos 45°=\dfrac{\sqrt 2}{2}$
Sauf que toi tu écris en gros :
$45°\quad\quad = \quad\quad \dfrac{\sqrt 2}{2}$
(angle) = (cosinus)
La preuve : #21
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 4\sqrt{32} \times \cos \left(\frac{4}{\sqrt{32}}\right)$
Tu as bien écrit : $\cos \left(\frac{4}{\sqrt{32}}\right)$ et non $\cos 45°$ Vrai ou Faux ?

2. Je me fiche de la calculette et de 0.707...
Tu dois connaître par cœur :
30° 45° 60°
sin $\frac 1 2$ $\frac{\sqrt 2}{2}$ $\frac{\sqrt 3}{2}$

cos $\frac{\sqrt 3}{2}$ $\frac{\sqrt 2}{2}$ $\frac 1 2$

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#1 31-03-2020 11:45:43

Dm produit scalaire

#2 31-03-2020 16:23:39

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#3 31-03-2020 17:22:40

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#4 31-03-2020 17:55:36

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#5 31-03-2020 19:00:05

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#6 31-03-2020 19:18:03

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#7 31-03-2020 19:23:44

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#8 31-03-2020 19:36:19

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#10 31-03-2020 20:05:21

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