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Lycéen

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Puissances du produit de deux matrices qui commutent

Bonjour,
je voudrais montrer que pour tout entier naturel $n$, si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées de même dimension qui commutent alors $(AB)^n=A^nB^n$
J'ai essayé par récurrence mais je n'arrive pas à finir.
Initialisation: Vrai pour $n=0$
Hérédité : $(AB)^n=A^nB^n\Rightarrow (AB)^{n+1}=A^nB^nAB=A^nB^nBA=A^nB^{n+1}A$
Merci d'avance

valoukanga

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Re : Puissances du produit de deux matrices qui commutent

Bonjour,

Tu vois ici que pour finir ta récurrence, il suffit que les matrice $A$ et $B^{n+1}$ commutent, et tu pourras conclure. Commence donc par démontrer que : pour tout $n \in \mathbb N$, $A$ et $B^n$ commutent.

Lycéen

Invité

Re : Puissances du produit de deux matrices qui commutent

Merci beaucoup, c'est fait

Initialisation : $n=0$ $AB^0=A$ et $B^0A=A$
Hérédité : On suppose que $A$ et $B^n$ commutent
$AB^n=B^nA$
$\Rightarrow AB^{n+1}=B^nAB$ Or $A$ et $B$ commutent donc $AB=BA$
$\Rightarrow AB^{n+1}=B^nBA$
$\Leftrightarrow  AB^{n+1}=B^{n+1}A$ donc $A$ et $B^{n+1}$ commutent