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#1 25-02-2020 08:42:45

moise0738
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Etude de convergence

Bonjour..
1)(Un) une suite convergente
En utilisant que (Un) decroit... Montrer que nUn tend vers 0 quand n tend vers l'infini ...
2)soit Sn=somme de 0 à n de ak
On suppose que la serie de terme général an diverge, etudier la natures des series de termes généraux an/Sn^2 et an/Sn pour n positif
Merci d'avance

Dernière modification par moise0738 (25-02-2020 14:09:27)

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#2 25-02-2020 13:46:37

Fred
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Re : Etude de convergence

Bonjour,

  Ton message n'est pas très lisible, et il manque sans doute des éléments.
Par exemple, est-ce que ce n'est pas plutôt la série de terme général $u_n$ qui est convergente?

F.

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#3 25-02-2020 14:03:51

moise0738
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Re : Etude de convergence

Bonjour..
Tout d'abord les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Pour la question 1 c'est bien la serie de terme général Un qui converge et Un est une suite à termes strictement positif .
Pour 2  (an) est une suite de reels strictements positifs

Dernière modification par moise0738 (25-02-2020 14:08:38)

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#4 25-02-2020 21:10:06

moise0738
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Re : Etude de convergence

Bonsoir...
Ce que j'ai écris n'est tjs pas lisible ou ???

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#5 25-02-2020 21:53:38

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Bonsoir,
C'est lisible mais pas compréhensible : par exemple pour la 1ere question tu parles de suites convergente puis dans ton message suivant de série...
Mais bon vu ce qu'on demande de montrer je crois deviner la question :
Montrer que si $\sum \limits_{n=0}^{+\infty} u_n $ existe alors $nu_n \to 0$.
C'est ça ?

PS : essayé d'apprendre le latex, c'est vraiment pas dur... et en plus ça rend la communication plus aisée et évite les devinettes...
PS 2 : si c'est bien ça  eh bien c'est faux, il suffit de prendre la série de Taylor du logarithme en 1

Dernière modification par Maenwe (26-02-2020 08:29:46)

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#6 25-02-2020 21:59:42

moise0738
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Re : Etude de convergence

Non c'est si la serie de terme general Un est convergente et de plus la suite (Un) est decroissante  montrer que la limite de nUn est nulle quand n tend vers plus l'infini

Dernière modification par moise0738 (25-02-2020 22:02:57)

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#7 25-02-2020 22:17:18

moise0738
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Re : Etude de convergence

Apparemment vous n'avez pas compris la question..
C'est si la serie de n>=1 de terme général Un est convergente et que (Un)n>=1 decroit alors nUn tend vers 0 quand n tres grand

Dernière modification par moise0738 (25-02-2020 22:43:48)

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#8 26-02-2020 08:38:26

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Bonjour,
Si j'avais compris la question j'avais juste besoin de dormir...
J'ai résolu la question en raisonnant par l'absurde mais en fait tu n'as pas forcément besoin que la suite décroit juste qu'elle soit positive.
Donc je t'indique le début du raisonnement :
Supposons par l'absurde que $(nu_n)_n$ ne converge par vers 0.
Donc on sait qu'il existe $c > 0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ il existe $k \geq n$ tel que $ku_k \geq c$.
Et après je te laisse faire, demande si tu bloques encore (la suite n'est pas si simple).

Dernière modification par Maenwe (26-02-2020 08:39:05)

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#9 26-02-2020 08:58:37

moise0738
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Re : Etude de convergence

J'avais déjà fait cela sauf que la decroissante est importante car on peut trouver une suite non decroissante telle que la série converge et nUn ne tend pas vers 0 donc dans la démonstration il faut absolument utiliser le fait que (Un) decoit

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#10 26-02-2020 13:18:49

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Re,
Bon je me suis trompé dans mon raisonnement par l'absurde, excuse moi. Pourrais tu donner ce contre-exemple ?
Du coup j'ai repris une autre piste sur laquelle j'étais et finalement (autre chose que par l'absurde) ça a aboutit (pour le coup je suis à peu près sûr de mon coup cette fois) :
On a évidement $nu_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (k+1)u_{k+2}-k u_{k+1} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} k(u_{k+2}-u_{k+1}) + \sum\limits_{k=2}^{n+1} u_{k}$ $(*)$.
Après il faut d'abord trouver une propriété sur $ \sum\limits_{k=0}^{n-1} k(u_{k+2}-u_{k+1}) $ à partir de l'égalité ci dessus et de l'inégalité suivante : $nu_{n+1} \leq  \sum\limits_{k=2}^{n+1} u_{k}$. Puis en utilisant cette propriété et $(*)$, on en déduit de nouveau une nouvelle propriété sur $ \sum\limits_{k=0}^{n-1} k(u_{k+2}-u_{k+1}) $.

Dernière modification par Maenwe (26-02-2020 13:23:36)

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#11 26-02-2020 14:16:32

moise0738
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Re : Etude de convergence

Bonjour
Pourez vous plus détaillée un peu svp

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#12 26-02-2020 14:32:49

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Détailler quoi précisément ? Je ne vais pas donner la réponse directement, ce n'est pas le but de ma démarche.

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#13 26-02-2020 14:43:34

moise0738
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Re : Etude de convergence

Re
Les propriétes dont vous dites avec les différentes sommes que je ne comprends pas

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#14 26-02-2020 15:07:29

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Bon tout d'abord tu es d'accord que $(nu_{n+1})$ est bornée ? Eh bien, à partir de $(*)$ que peux-tu en déduire ?

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#15 26-02-2020 15:17:30

moise0738
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Re : Etude de convergence

Wey sui d'accord que c borner mais c'est la déduction que j'arrive pas à sortir

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#16 26-02-2020 15:24:16

Maenwe
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Re : Etude de convergence

$(\sum\limits_{k=0}^{n-1} k(u_{k+2}-u_{k+1}))_n$ est donc bornée, de plus $(k(u_{k+2}-u_{k+1}))_k$ est de signe constant car $(u_n)_n$ est décroissante, est-ce que tu vois où je veux en venir ?

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#17 26-02-2020 16:28:32

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Comparaison série intégrale avec quoi ? Non, ce n'est pas ce à quoi je pense (mais si tu trouves avec ça tant mieux, et je serai curieux de voir comment), il faut que tu essayes encore ce n'est peut-être pas évident mais il faut y passer du temps pour progresser.

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#18 26-02-2020 16:33:57

moise0738
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Re : Etude de convergence

Critere de comparaison ?
Apres tu montre que nUn+1 converge et utiliser la methode par absurde pour montrer que la limite est nulle

Dernière modification par moise0738 (26-02-2020 16:34:49)

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#19 26-02-2020 17:32:18

Maenwe
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Re : Etude de convergence

C'est l'objectif oui, si tu arrives à montrer que $(nu_{n+1})$ converge tu as ton résultat (par l'absurde).

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#20 26-02-2020 18:20:39

moise0738
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Re : Etude de convergence

merci pour ton intervention

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#21 26-02-2020 18:38:02

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Content d'avoir pu aider

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#22 26-02-2020 19:27:38

moise0738
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Re : Etude de convergence

Re bon j'avais oublier la 2e question (qui est indépendant au 1er)

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#23 26-02-2020 21:09:34

Maenwe
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Re : Etude de convergence

On doit étudier $\sum \frac{a_n}{S_{n^2}}$ et $\sum \frac{a_n}{S_{n}}$ avec $(S_n)$ qui diverge c'est bien ça ?

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#24 26-02-2020 21:44:11

moise0738
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Re : Etude de convergence

Re
Non c'est la serie des n>=0 de an qui  diverge
Avec Sn la serie de 0 à k  de ak

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#25 26-02-2020 22:00:11

Maenwe
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Re : Etude de convergence

Oui quand j'écrivais $S_n$ je sous entendais $S_n = \sum \limits_{k=0}^n a_k$.

PS : Vraiment, si tu comptes poser d'autres questions sur ce forum essaye d'apprendre un peu de latex ça ferait gagner pas mal de temps, et pour toi aussi.

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