Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 22-02-2020 15:03:17
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions avec sinus
Bonjour à tous,
Je suis en L2 Math, et j'ai besoin de votre aide pour résoudre un petit exercice sur les suites de fonctions.
L'énoncé est le suivant :
Considérons la suite de fonctions ($f_n : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$) ($n \geq 1$) définie par : $\displaystyle{f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)}$.
1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb R$.
2. Montrer que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R$.
3. Montrer que, pour tout $a > 0$, la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[-a,a]$.
J'ai réussi à faire la question 1 (la suite converge vers la fonction nulle), la question 2 ($||f_n - 0||_\infty = 1$), mais pour la question 3, je bloque un peu. Il me vient à l'idée de prendre $n$ assez grand pour que $f_n$ ait "de petites variations", mais j'ai du mal à justifier cela rigoureusement.
Merci d'avance pour votre aide !
Hors ligne
#2 22-02-2020 16:22:38
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions avec sinus
Bonjour,
Et si tu utilisais l'inégalité $|\sin (t)|\leq |t|$, vraie pour tout $t\in\mathbb R$?
F.
Hors ligne
#3 22-02-2020 18:31:47
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions avec sinus
Ah oui, merci je n'y avais pensé !
Bonne soirée et encore merci !
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée