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#1 21-02-2020 13:52:24

Nelcar
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dérivée et fonction cubique

bonjour,
je galère dans mon exercice
j'ai :
S(h)= 150(150/*1/h²+h)
3) déterminer S'(h)

j'ai trouvé f'(h)= -2/h puissance 3   
pas sûr de moi


4) Soit h0 puissance 3= 300/pi

Montrer que si h appartient [h0 ; 10] alors S'(h)>ou égal à 0
Aide : la fonction cube est croissante sur R
on peut montrer de même que si h appartient [1 ; h0] alors S'(h)<ou égal à 0

je ne vois pas comment faire. Merci de votre aide

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#2 21-02-2020 14:26:32

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Bonjour,

1. Pas clair.
   Je ne peux pas répondre sans  comprendre ce que c'est que ce truc :
   S(h)= 150(150/*1/h²+h)... ?
   Plusieurs possibilités :
   $150\times \dfrac{\quad 150\quad}{\dfrac{1}{h^2+h}}$     $150\times \dfrac{\dfrac{150}{1}}{h^2+h}$  autre chose ?

   Et pourquoi y a-t-il un * tout seul ?

2. Tout ce que je peux te dire, c'est que $\dfrac{-2}{h^3}$ est la dérivée de  $\dfrac{1}{h^2}$
    En effet $\left(\dfrac{1}{h^2}\right)'=(h^{-2})'$
    Faire comme ça permet d'utiliser la formule de la dérivée de $x^n$ : $(x^n)'=nx^{n-1}$
    Donc :
    $(h^{-2})'=-2\times h^{-2-1}=-2\times h^{-3}= -2 \times dfrac{1}{h^3}=\dfrac{-2}{h^3}$
    Donc comme probablement il y a $h^2+h$ quelque part dans un dénominateur.
    Cette formule est inapplicable.
    Il faut passer par $\left(\dfrac U V\right)' =\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$
    Et si $V = h^2+h$, alors $V'=2h+1$
   
    La dérivée (en laissant de côté les 150) de $\dfrac{1}{h^2+h}$ est : $\left(\dfrac{1}{h^2+h}\right)'=\dfrac{-(2h+1)}{(h^2+h)^2}$

En résumé, tant que je ne sais pas ce que représente  ta bouillie pour les chats du début, je ne peux pas répondre avec précision...

Désolé.

@+


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#3 22-02-2020 08:35:45

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

Bonjour Yoshi,
S(h)= 150pi(150/pi*1/h²+h)
3) déterminer S'(h)

j'ai trouvé f'(h)= -2/h puissance 3
j'ai omis les pi
MERCI

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#4 22-02-2020 09:04:10

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Bonjour,
Deux lectures possibles :

$150\pi\times\dfrac{150}{\dfrac{\pi}{h^2+h}}$  ou $150\pi \times \dfrac{150}{\pi}\times \dfrac{1}{h^2+h}$?

@+


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#5 22-02-2020 10:22:09

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,

J'aimerais en savoir plus à propos de cette formule  : elle sort d'où ?
Donnée dans l'énoncé ?
On peut savoir ce qu'il y avait avant cette question ?

Supposons que la bonne lecture soit la 2e (en fait vu le manque de parenthèses - oui, il en faudrait plus sans l'utilisation de Latex - je doute même des interprétations que je fais) :
$S(h)=150\pi \times \dfrac{150}{\pi}\times \dfrac{1}{h^2+h}=\dfrac{22500}{h^2+h}$
On pose
U = 22500   donc  U' = 0
V = h^2+h  donc  V' = 2h+1

On applique la formule $\left(\dfrac U V\right)'=\dfrac{U'V-UV'}{V^2}$
Et on voit apparaître 22500 :
$S'(h)=\dfrac{-22500V'}{(h^2+h)^2}$

On peut aussi écrire S(h) comme ça :
$S(h) =22500\times \left(\dfrac{1}{h^2+h}\right)$
Et donc
$S'(h) =22500\times\left(\dfrac{1}{h^2+h}\right)'$
Et
$\left(\dfrac{1}{h^2+h}\right)'$ c'est la forme $\left(\dfrac 1 V\right)'$ dont la dérivée est $-\dfrac{V'}{V^2}$
Soit :
$S'(h)=-22500\times \dfrac{2h+1}{(h^2+h)^2}$

@+


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#6 22-02-2020 10:44:00

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,
le début c'est la construction d'un tipi de diamètre 6,50 et de hauteur 4,50 . Le volume est de 50 m3
montrer que r²=150 sur pih  ça c'est fait
on note S la fonction définie sur ]I (ou 1 je ne sais pas) ; 10[ qui a h associe le carré de l'aire en m² de peau nécessaire à recouvrir la surface latérale du tipi
montrer que S(h) = 150pi (150/pi*1/h²+h)     là j'ai trouvé S= pi*r*racine (r²+h²) mais je n'arrive pas à faire S² pour démonter que   S(h)=150 pi(150/pi*1/h²+h) et ensuite je dois calculer la dérivée de S(h)
MERCI

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#7 22-02-2020 13:51:08

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

salut,

$50=\dfrac 1 3\pi r^2 h$  D'où $r^2=\dfrac{150}{\pi h}$ ok.

Pour le reste, je ne sais toujours pas comment interpréter ta formule.
Donc, j'abandonne la question, je vais essayer de me passer de la réponse...


Oui, l'aire latérale du cône vaut  $S=\pi\times  r \times a$
où r est le rayon du cercle de base et a, l'apothème du cône.
On a donc $a^2=r^2+h^2$
D'où

$S(h) = \pi \times r \times \sqrt{r^2+h^2}$
Soit
$S^2(h)=\pi^2\times r^2\times(r^2+h^2)$
Il vient :
$S^2(h)=\pi^2\times\dfrac{150}{\pi h}\times\left(\dfrac{150}{\pi h}+h^2\right)=\pi^2\times \dfrac{150}{ \pi^2 h}\times\left(\dfrac{150}{h}+\pi h^2\right)$

$S^2(h)=\dfrac{150}{h}\times \left(\dfrac{150}{h}+\pi h^2\right)=\dfrac{150^2}{h^2}+150\pi h$
Et je ne vois pas, désolé, comment passer de $S^2(h)$ à $S(h)$ et obtenir une formule sans racine...
C'est ton prof ou l'énoncé qui te disent de faire comme ça ?
Parce que dans l'écriture de S(h), si je remplace r^2 par $\dfrac {150}{\pi h}$ et que je simplifie un peu, je trouve une dérivée, pas sympathique, certes...

Je ne suis donc pas plus avancé.
J'ai quand même besoin de ta formule pour S(h) puisque tu ne peux pas me donner une réponse en ajoutant des parenthèses nécessaires, alors prends une photo du début de l'énoncé où se trouve ta formule.
Tu vas ensuite  sur https://www.cjoint.com

Clique sur Parcourir pour trouver ta photo, et tu la sélectionnes
Tu cliques sur ouvrir, puis sur Créer le lien cjoint qui apparaît en haut de page.
Tu le copies et le colle dans ta réponse...

Bon, je vais aller acheter mon pain, j'airais peut-être ta réponse ou les idées plus clair en rentrant, parce que là si je continue à m'arracher les cheveux, je vais finir chauve...

@+

Dernière modification par yoshi (22-02-2020 15:31:53)


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#8 22-02-2020 15:34:34

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,
la question est :
on note S la fonction définie sur ]I (ou 1 je ne sais pas) ; 10[ qui a h associe le carré de l'aire en m² de peau nécessaire à recouvrir la surface latérale du tipi
montrer que S(h) = 150pi (150/pi*1/h²+h)
et ensuite déterminer S'(h)

j'ai bien l'aire = pi * r * racine(r²+ h²)

comme la photo est sur pronote je regarde comment je peux la prendre ou la joindre
MERCI
comme il est  noté le carré de l'aire donc il faut faire l'aire au carré soit pi² * r² * (r² + h²) ensuite je remplace r² par 150/pih
ce qui me donne S(h) c'est-à dire le carré de l'aire = pi² *150/pi h * (150/ pi h + h²)

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#9 22-02-2020 15:41:33

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

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#10 22-02-2020 16:33:50

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Salut,

Ok, je vois...
Je ferai des commentaires plus tard.
Donc, si $S(h)=150\pi\left(\dfrac{150}{\pi}\times \dfrac{1}{h^2}+h\right)$ (mauvaise qualité d'image  :
$150\pi(\cdots + h)$ ou $150\times(\cdots + h)$ autrement dit c'est $ 150\pi(...$  ou $150\times(...$ ?
1. $S'(h)=150\pi\left(\dfrac{150}{\pi}\times \dfrac{1}{h^2}+h\right)'$
Pour la dérivée il faut décomposer :
2. Si je pose
    $U =\dfrac{150}{\pi}\times \dfrac{1}{h^2}$   on a   $U'=\dfrac{150}{\pi}\left(\dfrac{1}{h^2}\right)'$
    $V = h$    V'=1$
  J'ai donc la parenthèse qui est U + V, sa dérivée est donc U'+V'.

Je résume :
$S'(h)=150\pi\left(\dfrac{150}{\pi}\times \dfrac{1}{h^2}+h\right)'=150\pi\left(\dfrac{150}{\pi}\times\left(\dfrac{1}{h^2}\right)'+1\right)$

Tu devrais maintenant pouvoir calculer ta dérivée, non ?

@+


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#11 22-02-2020 16:40:24

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,
j'ai trouvé S'(h)= 150 pi(150/pi*(-2/h puissance 3  + 1)

est-ce ça
MERCI

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#12 22-02-2020 17:01:07

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,

Oui ! Pour dériver $\dfrac{1}{h^2}$, moi, je ne m'embête pas je cherche $(h^{-2})'$ qui vaut $-2h^{-2-1}$ soit $\dfrac{-2}{h^3}$

Ça y est j'ai compris...
C'est cette simple phrase qui l'avait envoyé sur une fausse piste :

Nelcar a écrit :

mais je n'arrive pas à faire S² pour démontrer que   S(h)=150 pi(150/pi*1/h²+h)

En effet, m'apercevant que je que j'avais calculé et appelé $S^2(h)$,l'énoncé l'appelait lui $S(h)$...
Alors je me suis demandé pourquoi... Et j'ai relu l'énoncé !
Si j'appelle A(h) l'aire latérale du tipi en fonction de h, $S(h)=A^2(h)$
S(h) c'est le carré de l'aire !
Il n'était pas question de chercher $S^2(h)$ !!!...

Moyennant quoi:
$S(h)=\pi^2\,r^2\, a^2 =\pi^2\,r^2\left(r^2+h^2\right)=\pi^2\times \dfrac{150}{\pi h}\left(\dfrac{150}{\pi h}+h^2\right)=\pi\times \dfrac{150}{h}\left(\dfrac{150}{\pi h}+h^2\right)$
$S(h) = 150\pi\times\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{150}{\pi h}+h^2\right)$
Et il te reste à multiplier toute la parenthèse par $\dfrac 1 h$ et le tour est joué...

@+


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#13 22-02-2020 17:17:41

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

ok
donc je trouve
S(h) = 150 pi *( 150/pi h² +2²/h)
S(h)= 150 pi (150/pi * 1/h²+h)
ok
pour moi la dérivée est S'(h)= 150 pi(150/pi *(-2/h puissance 3 + 1)
est-ce bon

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#14 22-02-2020 17:33:00

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,

En y regardant de plus près : non pas tout à fait ! Il va te falloir être plus attentive avec tes parenthèses et la priorité des opérations...
Déjà il manque une parenthèse fermante :
Si je l'écris comme toi, ici :
S'(h)= 150 pi(150/pi *(-2/h puissance 3 + 1))
2 parenthèses ouvrantes --> 2 parenthèses fermantes !
Donc reprenons, tu écris :

$S'(h)=150\pi\left[150\pi\left(\dfrac{-2}{h^3}+1\right)\right]$
Rien ne te choque ?
Alors flashback :
$S'(h)=150\pi\left[150\pi\times \left(\dfrac{1}{h^2}\right)' + (h)'\right]$
As-tu l'impression que cela donnera ce que tu as écrit, une fois effectuées les deux dérivations  ???
Moi, je suis sûr que non, pourquoi ?

@+


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#15 22-02-2020 17:33:56

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

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#16 22-02-2020 17:49:22

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

il faudra peut-être mettre
S'(h) = 150 pi(150/pi *(-2/h puissance 3) +1)

est -ce ça
MERI

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#17 22-02-2020 17:55:09

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

ET POUR le 4)
est-ce :
si h < h0 alors (h0/h) > 1 son cube aussi et la dérivée est négative, et après h0 elle est positive et si
si h > h0 alors (h0/h) < 1 son cube aussi et la dérivée est positive, et après h0 elle est négative.
Merci
POUR

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#18 22-02-2020 20:42:14

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Ren

Le début était correct, mais après ça se gâte  :

et la dérivée est négative, et après h0 elle est positive

Là, tu ne prouves rien...

$S'(h)=150\pi\left(-\dfrac{300}{\pi h^3}+1\right)$
Si je donne à h la valeur h0, la dérivée est nulle. Avant ou après h0, le signe n'est pas le même.
S(h), le carré de la surface, peut être minimale ou maximale selon la place des signes : tu as déjà vu ça ?

Supposons $h>h0$ la fonction cube es croissante sur $\mathbb R$ donc $h^3>h_0^3$, c'est à dire $h^3>\dfrac{300}{\pi}$

soit en divisant les 2 membres par h3 (positif, donc pas de changement d'ordre) $1>\dfrac{300}{\pi h^3}$ et

N_B : $1-\dfrac{300}{\pi h^3}>0$ est la même chose que $-\dfrac{300}{\pi h^3}+1>0$

Conclusion : pour $h> h_0$, alors $-\dfrac{300}{\pi h^3}+1>0$ et donc $150\pi\left(-\dfrac{300}{\pi h^3}+1\right)>0$ soit $S'(h)> 0$

@+


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#19 23-02-2020 11:08:33

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

bonjour,
j'ai vu mais pas compliqué comme cela, là encore je suis perdue.
donc pour cette question 4 je dois noter :
h>h0, alors −300/pi h3+1>0 et donc 150pi(−300/pi h3+1)>0 soit S′(h)>0
donc je vais essayer  que dois-je faire pour avoir S'(h)<0 ?

MERCI

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#20 23-02-2020 12:42:28

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

j'ai mal mis ce que je cherche
je cherche pour avoir S'(h)<0
j'ai beaucoup de mal (pour moi
si h < h0 alors (h0/h) > 1 son cube aussi et la dérivée est négative
merci

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#21 23-02-2020 14:19:41

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Bonjour,

je dois noter :
h>h0, alors −300/pi h3+1>0

Où as-tu prouvé que si h>h0, alors −300/(pi h3)+1>0 ?
Ce que tu écris est une affirmation non justifiée.
Je recommence.
Tu dois prouver que si $h\geqslant h_0$  alors $S'(h)\geqslant 0$
Au passage, je vais t'écrire les formules de deux façons : en Latex, et comme toi en utilisant des parenthèses supplémentaires et la barre d'outils de messages pour l'exposant ou l'indice
Tu as commencé correctement
Si h>=h0  alors puisque la fonction cube est croissante sur R, on a h3>=h03

(commentaire pour toi : je vais remplacer maintenant h03 par 300/pi)
On peut donc écrire que  : h3>=300/pi.

(Commentaire pour toi : là, je vais diviser les 2 membres par h3 pour faire apparaître le morceau de dérivée 300/(pi h3 et le 1)

Donc : 1>=300/(pi h3

(Commentaire pour toi : dans la dérivée il y a -300/(pi h3, je passe donc le 2e membre dans le premier)

D'où : 1-300/(pi h3>=0 
(qui est la même chose que -300/(pi h3 +1>=0 : tu sais bien x-y = -y + x, non ?)

(Commentaire pour toi : et pour arriver à S'(h), il faut encore que je dise que je multiplie (-300/(pi h3 +1) par 150pi qui est un nombre positif, donc je ne change pas le signe de -300/(pi h3 +1 ))

Puisque (-300/(pi h3 +1)>=0 alors S'(h)= 150pi(-300/(pi h3 +1)>=0
-------------------------------------------------------------------
Avec Latex :
Si $ h>h_0$, puisque la fonction cube est croissante sur $\mathbb R$, alors $ h^3\geqslant>h_0^3$

Comme $h_0^3=\dfrac{300}{\pi}$, alors $h^3\geqslant\dfrac{300}{\pi}$
On divise les deux membres par $h^3$ (positif) :
$1\geqslant\dfrac{300}{\pi h^3}$
On passe tout dans le premier membre :
$-\dfrac{300}{\pi h^3}+1\geqslant 0$
(on peut aussi placer le 2e membre devant le 1 : ce n'est pas dans mes habitudes, mais rien ne l'interdit à condition de ne pas oublier que 1 c'est aussi +1)

On multiplie les 2 membres par $150\pi$ (positif), d'où $150\pi\left(-\dfrac{300}{\pi h^3}+1\right)\geqslant 0$

Pour ta question, moi je lis ;
On peut montrer que qui peut se lire de 2 façons :
Pour montrer que si $1\leqslant h\leqslant h0$ alors $S'(h)\leqslant 0$, vous pouvez procéder comme vous l'avez fait pour montrer que si  $ h \geqslant h_0$ alors $S'(h)\geqslant 0$. Dans ce cas, il faut le faire...
ou
On peut montrer que, dans le sens, on pourrait montrer que, si on voulait montrer que on procéderait de la même façon... Et dans ce casn ce n'est pas une obligation.
Moi, j'aurais tendance à le lire : ce n'est pas obligatoire... Parce que, pour moi toujours, c'est sans intérêt : il suffit de recopier la démonstration qui part de $h\geqslant h_0$ en remplaçant systématiquement  $\geqslant h$ par $\leqslant$...

Mais je viens de penser à une 2e méthode.
Recherche pour quelle valeur de h, on a  $\dfrac{300}{\pi h^3}\geqslant 0$
$-\dfrac{300}{\pi h^3}+1\geqslant 0$
$\iff$
$-\dfrac{300}{\pi h^3}\geqslant -1$  (on a passé le 1 de l'autre côté)
On multiplie les 2 membres par -1 (négatif, donc on change l'ordre) :
$\dfrac{300}{\pi h^3}\leqslant 1$
On multiplie les deux membres par $h^3$ (positif pas de changement d'ordre) :
$\iff$
$\dfrac{300}{\pi}\leqslant h^3$
or
$\dfrac{300}{\pi}=h_0^3$
Donc l'inégalité s'écrit  $h0^3\leqslant h^3$  et $h_0\leqslant h$ puisque h et h0 positifs..

A toi de voir...

@+


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#22 23-02-2020 21:23:54

Nelcar
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Re : dérivée et fonction cubique

ok
donc je peux donc écrire aussi
Si h<=h0  alors puisque la fonction cube est croissante sur R, on a h3<=h03


h3<=300/pi.

je vais diviser les 2 membres par h3 pour faire apparaître le morceau de dérivée 300/(pi h3 et le 1)

Donc : 1<=300/(pi h3

dans la dérivée il y a -300/(pi h3, je passe donc le 2e membre dans le premier)

D'où : 1-300/(pi h3<=0
(qui est la même chose que -300/(pi h3 +1<=0

et pour arriver à S'(h), il faut encore que je dise que je multiplie (-300/(pi h3 +1) par 150pi qui est un nombre positif, donc je ne change pas le signe de -300/(pi h3 +1 ))

Puisque (-300/(pi h3 +1)<=0 alors S'(h)= 150pi(-300/(pi h3 +1)<=0

MERCI

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#23 24-02-2020 08:53:42

yoshi
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Re : dérivée et fonction cubique

Re,

Attention !
Ti te fais encore des nœuds avec les parenthèses : tu en oublies une avec cette écriture... Pas :

Puisque (-300/(pi h3 +1)<=0 alors S'(h)= 150pi(-300/(pi h3 +1)<=0

Pourquoi ?
Parce que je note 2 parenthèses ouvrantes et une fermante : si tu fais le calcul avec Python : message d'erreur...
Alors pourquoi écrire -300/(pi * h3, 300/pi*h3n'est pas juste ?

ais :
Puisque (-300/(pi h3) +1)<=0 alors S'(h)= 150pi(-300/(pi h3) +1)<=0

Alors pourquoi écrire -300/(pi * h3, 300/pi*h3n'est pas juste ?
Non.
Priorité des opérations:
En l'absence de parenthèses addition et soustraction, d'une part multiplication de division d'autre part ont la même priorité, cela signifie que les calculs dans ce cas sont faits dans l'ordre où il s sont rentrés.
Par exemple, le calcul
45/3*6 si en Latex n c'est  $\dfrac{45}{3\times 6), alors avec ton écriture il faut taper 45/(3*6), ... Sinon si je demande à  Python (ou une calculatrice) de calculer : 45/3*6
Résultat :

Python 3.5.2 (v3.5.2:4def2a2901a5, Jun 25 2016, 22:18:55) [MSC v.1900 64 bit (AMD64)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> 45/3*6
90.0
>>>

Alors que :

>>> 45/(3*6)
2.5
>>>

Vérifification :
[tex]\dfrac{45}{3\times 6}=\dfrac{45}{18}=\dfrac{6}{2}=2,5[/tex]...

Pourtant me diras-tu, là, il n'y a pas de parenthèses ?
Oui et non : oui, parce que tu n'en vois pas et non, parce qu'elles sont "cachées", il est inutile de les écrire.

A la main difficile de confondre sur ta copie :
$\dfrac{45}{3\times 6}$  et   $\dfrac{45}{3}\times 6$     
et $\left( \dfrac{45}{3}\times 6=15 \times 6=90\right)$

Le problème vient de ce que tu n'écris pas sur une feuille mais sur un écran d'ordinateur (ou de téléphone)
Là, pas moyen de faire la différence, s'il n'y a pas de parenthèses...

Sinon, maintenant avec le rectificatif, à l'écran, c'est juste !

A part ça, tu as compris la démonstration ?
Quand mes élèves répondaient oui, j'ajoutais : Donc vous répondez oui,  je saurais refaire et expliquer si on m'envoie au tableau.
Donc, si tu as répondu  : oui
Pose-toi donc la question :
Si le prof m'envoie au tableau, pour expliquer à mes camarades ce que j'ai fait et me pose des questions, je n'aurai pas de soucis ?
Si tu as un doute, questionne !!!

Sinon, place à la suite...

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#24 24-02-2020 09:33:57

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 146

Re : dérivée et fonction cubique

Merci beaucoup.
A vrai dire je ne sais pas si je saurai l'expliquer à quelqu'un.
encore une petite question pourquoi faut-il multiplier par 150 pi pour S'(h) ?
MERCI

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#25 24-02-2020 10:09:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 790

Re : dérivée et fonction cubique

Re,

A vrai dire je ne sais pas si je saurai l'expliquer à quelqu'un.

alors c'est que tu n'as pas compris vraiment le pourquoi de chaque étape...
Qu'est-ce qui te gêne toujours ?

Concernant ta question .
Voilà S(h) :
$S(h) = 150\pi\times\dfrac{1}{h}=150\pi\left(\dfrac{150}{\pi h^2}+h\right)$
(Au passage, tu l'avais écrit :
S(h)= 150pi(150/pi*1/h²+h),
    si tu l'avais écrit comme ça :
S(h)= 150pi((150/pi)*(1/ h²)+h),
on n'aurait pas perdu autant de temps... C'était sans discussion).

Donc
on cherche  $S'(h)=\left[150\pi\left(\dfrac{150}{\pi h^2}+h\right)\right]'$, ok ?
Pour simplifier je vais noter
$f(h)=\dfrac{150}{\pi h^2}+h$ et $k=150\pi$
On cherche donc $[150\pi\times f(h)]'$ D'accord ?
Et bien $150\pi$ est une constante et donc la dérivée de $S(h) = k.f(h)$  est  $S'(h) =k.f'(h)$
Exemples :
- la dérivée de $x^4$ est   $4x^3$ et la dérivée  de $5x^4$ est $5(x^4)'= 5\times 4x^3=20x^3$
- la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$ est $\dfrac{-2}{x^3}$  et la dérivée  de $\dfrac{5}{x^2}$ est  $5\times\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=5\times \dfrac{-2}{x^3}= \dfrac{-10}{x^3}$

Donc
$S'(h)=\left[150\pi\left(\dfrac{150}{\pi h^2}+h\right)\right]'=150\pi\left[\dfrac{150}{\pi h^2}+h\right]'=150\pi\left[\left(\dfrac{150}{\pi h^2}\right)'+(h)'\right]=150\pi\left[-\dfrac{300}{\pi h^3}+1\right]$
Regarde attentivement où sont les ' (prime)...

J'ai répondu à la bonne question ?

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