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#1 21-02-2020 13:11:37

ccapucine
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Messages : 138

Wronskien

Bonjour
j'ai l'exercice suivant:
Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation
$$
(P(x) y')' +q(x) y=0
$$
sur l'intervalle $[a,b]$ avec $P(x) > 0$.
1. Montrer que $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps.
2. Montrer que si $y_1$ et $y_2$ sont des solutions non triviales et linéairement dépendantes, alors elles s'annulent en même temps.

Voici ma solution:
1. Par l'absurde, on suppose que $y_1$ et $y_2$ s'annulent en même temps. Ce qui veut dire qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ tel que $y_1(x_0)= y_2(x_0)=0$. Donc on a $W[y_1,y_2](x_0)= y_1(x_0) y_2'(x_0)-y_2(x_0) y_1'(x_0)=0$ ce qui contredit le fait que $y_1$ et $y_2$ soient linéairement indépendant.

2.  On suppose que $y_1,y_2 \neq 0$. $y_1$ et $y_2$ sont linéairement dépendant veut dire qu'il existe $x_0 \in [a,b]$ telle que $W[y_1,y_2](x_0)= 0$. C'est à dire que $y_1(x_0) y_2'(x_0) - y_2(x_0) y_1'(x_0)=0$. Donc $y_1(x_0) y_2'(x_0)= y_2(x_0) y_1(x_0)=0$.

J'ai un petit doute: si $y_1$ et $y_2$ sont linéairement dépendent alors le Wroksien est nul quelque soit $x$, ou bien il existe un $x_0$ pour lequel le Wronksien est nul?

Cordialement

Dernière modification par ccapucine (21-02-2020 13:26:30)

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#2 21-02-2020 17:06:46

Fred
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Messages : 5 614

Re : Wronskien

Bonjour,

  Pour le 1. je suis d'accord. Pour le 2. pourquoi passer d'une différence $a-b=0$ à $a=0$ et $b=0$. Pour répondre à 2., on n'a pas besoin du wronskien.
Et pour répondre à ta question, si le wronskien s'annule en un point, alors il est identiquement nul, voir par exemple : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … skien.html

F.

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#3 21-02-2020 17:19:23

ccapucine
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Messages : 138

Re : Wronskien

Bonjour Fred
s'il vous plaît comment répondre à 2 proprement? et est-ce qu'on a besoin d'utiliser le fait que $y_1$ et $y_2$ sont solution d'une edo d'ordre 2?
Merci d'avance.

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#4 21-02-2020 17:48:32

Fred
Administrateur
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Messages : 5 614

Re : Wronskien

Non, il suffit d'écrire que l'une est multiple de l'autre...

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#5 21-02-2020 18:01:19

ccapucine
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Messages : 138

Re : Wronskien

Ok c'est bien compris.
j’ai la question suivante s’il vous plaît:
soit un edo d’ordre 2: $y'' + P(x) y’ +q(x) y =0 $, où P et q sont des fonctions continues sur un intervalle I avec P>0.
Soient y_1, y_2 deux solutions de l’Edo telle que leur Wronskien:  $W[y_1,y_2](x) = y_1(x) y_2’(x) -y_1’(x) y_2(x) \neq 0.$

Comment montrer que la solution générale de cette d’edo s’écrit $y(x)= c_1 y_1(x)+ c_2 y_2(x)$ où $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes réelles? S’il vous plaît.

Merci beaucoup d’avance pour votre aide.

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#6 21-02-2020 22:54:49

Fred
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Re : Wronskien

Là, il me faut savoir ce que tu as appris sur le wronskien.... Parce que la réponse peut être très simple si tu connais certaines propriétés du wronskien, plus compliquée sinon!

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