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Laurie00

Invité

Théorème central limite

Bonjour,

Je suis bloquée sur un exercice du théorème central limite, ou je n’arrive pas à poser les variables aléatoires élémentaires.

« Le nombre de clients pénétrant dans un magasin pour audiophiles un jour j est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre 15. On admet que les variables correspondant à des jours différents sont indépendantes.
Quelle est la probabilité d’avoir au moins 600 clients durant une période de 44 jours ouvrés ? »

J’ai posé que:
- les VA sont indépendantes
- 600 > 30
- mais je n’arrive pas à trouver la loi normale. Je sais que l’espérance d’une loi de Poisson ainsi que sa variance sont égales au paramètre 15, mais je n’y arrive pas.

Je serai reconnaissante de votre aide, merci d’avance

Fred

Administrateur

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Messages : 7 049

Re : Théorème central limite

Bonjour,

  Es-tu sûre de vouloir appliquer le théorème limite central? En effet, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent respectivement des lois de Poisson de paramètre $\lambda$ et $\mu$, alors $X+Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Dans ton cas, si $X_j$ est le nombre de clients entrant dans le magasin le jour $j$, alors $S_{44}=X_1+\dots+X_{44}$ suit une loi de Poisson de paramètre $44\times 15=660$. Tu peux alors faire tes calculs de probabilité avec cette loi de Poisson.

  Si tu veux utiliser l'approximation par la loi normale (ce qui est possible ici), alors l'application du théorème central limite te donne immédiatement que $\frac{S_{44}-660}{\sqrt{660}}$ peut être approché par la loi normale $\mathcal N(0,1)$.
On a $660$ au numérateur parce que c'est $44\times 15$ (n=15, E(X_1)=44), et on a $\sqrt{660}$ au dénominateur essentiellement pour la même raison, en remplacement l'espérance par la variance.
Ce qui t'intéresse, c'est $P(S_{44}\geq 600)$. Mais
\begin{align*}
S_{44}\geq 600\iff S_{44}-660\geq -60\iff \frac{S_{44}-660}{\sqrt{660}}\geq \frac{-60}{\sqrt{660}}.
\end{align*}
Et à partir de là, tu peux faire tes calculs avec la loi normale centrée réduite.