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#51 25-02-2020 18:39:38

yannD
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Re : Trouver une forme général

je suis pas encore dans l'exercice n°2, je suis toujours dans la démonstration que tu m'as donné mais je vois pas ce qu'il faut conclure..(si je regarde le # 40, je vais avoir le corrigé)

Dernière modification par yannD (25-02-2020 18:41:32)

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#52 25-02-2020 19:14:35

yannD
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Re : Trouver une forme général

j'ai commencé l'exercice n°2 avec la 2e méthode (sans calcul de OD')
(a) Montrer que D et C sont sur le demi-cercle (K) de centre O et de rayon $2\sqrt{5}$

   C et D sont placés tel que ABCD soit un carré
   A a pour coordonnées (-2;0) et B a pour coordonnées (2;0) donc ABCD est un carré de côté 4.

    Puisque B et C sont sur une même verticale alors le point C a pour abscisse 2
     et comme la longueur d'un coté du carré est 4  alors le point C a pour coordonnées (2;4)
        $OC = \sqrt{(x_{C}-x_{0})^2 + (y_{C}-y_{O})^2} $
        $x_O=y_O=0$ donc : $OC=\sqrt{(2)^2+(4)^2} = \sqrt{20} =  \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5} $
    Puisque le cercle (K) a pour rayon $2\sqrt{5}$ et que la longueur OC aussi alors le point C est bien sur le cercle.

    Puisque A et D sont placés sur une même droite d'équation x = -2 alors le point D a pour abscisse -2
    et comme la longueur d'un côté est 4 alors D a pour coordonnées (-2;4)
        Calculons maintenant la longueur OD
       $OD =\sqrt{(x_{D}-x_{O})^2+(y_{D}-y_{O})^2} $
       $x_O=y_O=0$ donc : $OD=\sqrt{(-2)^2+(4)^2} =\sqrt{4+16 } = \sqrt{20} = \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5}$
     Puisque le rayon du cercle (K) et la longueur OD sont pareils alors le Point D est bien sur le cercle

Dernière modification par yannD (25-02-2020 19:24:05)

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#53 25-02-2020 20:20:12

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Bel effort...
voilà bien plus court, en raisonnant sans douleur.
On part du calcul fait des coordonnées de C et D.
Tu remarques que C et D sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc, par définition, l'axe des ordonnées est la médiatrice de [CD].
O étant sur cette médiatrice, on a OD=OC.
D et C sont sur un cercle de centre O de de rayon $OC=2\sqrt 5$.
Appartenant au cercle de centre O de rayon $OC=2\sqrt 5$, ils appartiennent donc aussi au demi-cercle (K) de même centre et de même
rayon.

Suite pas indispensable mais qui clarifie les choses :
Soient E et F les points d'intersection de ce cercle avec l'axe des abscisses
Puisque $OE =OF =2\sqrt 5$ et que O, E et F sont alignés, [EF] est un diamètre de de ce demi-cercle.
(j'ai choisi de placer E et F tels que $x_E>0$ et $x_F<0$)

@+

PS:
Demain je pars jusqu'à lundi, 400 km à faire. Pas de pb je reste en contact après mon arrivée dans l'après-midi...
Cette fois, c'est la bonne.


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#54 28-02-2020 19:11:21

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonsoir Yoshi, je bloque sur ta démonstration, par ce que je ne comprends pas comment tu montres que le rayon OC est bien 2√5. Peux-tu m'expliquer s'il te plait ?
Après pour la 2e question : j'ai montré que le vecteur CD et le vecteur C'D' sont colinéaires mais je n'arrive pas à montrer que l'image du cercle (K) est l'image du cercle (L)

Dernière modification par yannD (28-02-2020 19:16:03)

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#55 28-02-2020 20:14:13

yoshi
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Re : Trouver une forme général

RE,

On ne repart pas de zéro...
C'est la question 2b 2c : tu as tout à fait le droit d'utiliser ce qui a été fait avant. Et justement avant, tu as calculé les coordonnées de C et D  pour que ABCD soit un carré et aussi $OC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=\sqrt {4\times 5}=2\sqrt 5$
Je n'ai besoin de rien d'autre.
Tu sais donc que le demi-cercle (L) pour centre O et rayon $R=2\sqrt 5$
Dans l'homothétie de centre O et de rapport k, le demi-cercle homothétique de (L) ;
a pour centre O'=h(O)
a pour rayon $R'=k.R$

Où est O' ?
L'homothétique O' de O par h, c'est O lui-même...
Que vaut R' ?
$R'=\dfrac{\sqrt 5}{5}\times 2\sqrt 5 =\dfrac{\sqrt 5\times 2\sqrt 5}{5}=\dfrac{2\times 5}{5}=2$
Par conséquent le demi-cercle (K) a pour centre O et rayon 2, il passe par C'.
D' est-il sur (K)

(K) est l'homothétique de (L) dans l'homothétie h de centre O et de rapport $\dfrac{\sqrt 5}{5}$
Donc tout point M de (K) a son homothétique M' sur (L) et de plus $\overrightarrow{OK'}=\dfrac{\sqrt 5}{5}\overrightarrow {OK}$...
Donc O, M', M sont alignés. M' est l'intersection de (OM) et de  (L)...
Puisque cela est vrai pour n'importe point M de (K), c'est vrai en particulier pour D.
Donc D'=h(D) est sur (L)...

Ce raisonnement peut aussi s'utiliser avec les symétries, les translations, plus tard, les similitudes...
En effet, soit un ensemble de points E et transformation ponctuelle k qui transforme E en E'.
Tout point de E a une image dans E',et  E' est constitué des images de chacun des points de E...
L'image E'  de l'ensemble de points E est l'ensemble des images des points de E...

Qu'on résume parfois ainsi : l'image d'un ensemble est l'ensemble des images...

@+


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#56 29-02-2020 13:11:03

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, pour l'exercice 1 , j'ai construit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis j'ai reporté 3 fois la norme de ce vecteur sur la droite (AB) , mais je ne vois pas où je dois placer le point O. Peux-tu me donner une toute petite indication , s'il te plait ?

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#57 29-02-2020 13:59:14

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Bonjour,

Non, je ne peux pas... Enfin, si !
Mais tu n'en as pas besoin, ça ne te servirait à rien...
Contente-toi de jouer avec la relation de Chasles et de suivre le plan donné.
Rappel : le point O est le centre de l'homothétie dont on veut montrer qu'elle existe.
Tu sauras qu'elle existe quand tu auras trouvé le rapport k.
A ce moment-là tu auras prouvé qu'elle transforme A en B ; resteras à montrer que cette homothétie précise transforme B en C..
Donc, tu mets O où tu veux pour le moment, mais tu aurais déjà dû deviner que O, A, B, C sont alignés dans cet ordre...

Question 1 : la plus facile...
Exprime donc $\overrightarrow{OB}$ en fonction de  $\overrightarrow{OA}$, puis $\overrightarrow{OC}$ en fonction de  $\overrightarrow{OB}$, pour en déduire  $\overrightarrow{OC}$ en fonction de  $\overrightarrow{OA}$

@+


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#58 02-03-2020 15:45:43

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, avant de poursuivre l'exercice, je voudrais revenir sur ta démonstration du # 55 , la source : est-ce que c'est le calcul des coordonnées de C et D ?

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#59 02-03-2020 17:21:01

yoshi
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Re : Trouver une forme général

RE,

Oui. Pour t'en convaincre regarde ce que j'ai écrit au#53...

@+


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#60 02-03-2020 19:32:06

yannD
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Re : Trouver une forme général

on part du calcul des coordonnées de C et de D donc c'est la source

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#61 02-03-2020 19:44:34

yannD
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Re : Trouver une forme général

j'ai essayé" de refaire ta démonstration mais je bloque au niveau du calcul de R'

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#62 02-03-2020 20:34:45

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Tu vois le problème de passer de l'un à l'autre des exercices avec plusieurs va-et-vient : tu perds le fil... C'est du papillonnage...

Tu sais que l'homothétie de centre O et de rapport k est telle que  C'=h(c), donc que $\overrightarrow{OC'}=k.\overrightarrow{OC'}$
Donc même si tu ne sais pas que l'image d'un cercle de rayon R, est un cercle de rayon R'=k.R, tu le déduis de l'égalité ci-dessus
OC=R, OC'=R'
Tu connais OC', donc R'.
Tu es donc capable de trouver k (calcul avec des racines niveau 3e/2nde)


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#63 02-03-2020 21:01:11

yannD
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Re : Trouver une forme général

$\frac{2\sqrt{5}}{5} .\vec i+\frac{4\sqrt{5}}{5}.\vec j = k . (2\vec i+4\vec j)$

$\frac{2\sqrt{5}}{5}.\vec i + \frac {4\sqrt{5}}{5}.\vec j = 2k .\vec i + 4k.\vec  j $


      $2 k = \frac{2\sqrt{5}}{5} <=> k = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

     $ 4 k = \frac {4\sqrt{5}}{5} <=> k = \frac{4\sqrt{5}}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{5}}{5}$


c'est l'autre calcul avec les racines carré que je ne sais pas faire, celui où tu calcul le rayon de l'autre demi-cercle

Dernière modification par yannD (02-03-2020 21:02:56)

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#64 02-03-2020 21:29:32

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Faute de déterminer qui est "l'autre" demi-cercle, voilà pour les deyx :

Le demi-cercle que j'ai appelé (K) a pour centre O et rayon OC puisqu'il passe par C
$OC=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt {20}=2\sqrt 5$

Le demi-cercle (L) passe par $C'\left(\frac{2\sqrt 5}{5}\,;\,\frac{4\sqrt 5}{5}\right)$
$OC'=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt 5}{5}\right)^2+\left(\frac{4\sqrt 5}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{20}{25}+\frac{80}{25}}=\sqrt{\frac{100}{25}}=\sqrt 4 =2$

Donc R'=OC'=2

Où est le problème ?  dans les calculs ?


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#65 02-03-2020 21:34:32

yannD
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Re : Trouver une forme général

c'est le calcul qui est en dessous de : que vaut r' (#55)
j'ai compris que tu appelles (K)  le demi-cercle homothétique de (K) mais c'est le calcul du rayon que je ne comprends pas

Dernière modification par yannD (02-03-2020 21:39:16)

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#66 02-03-2020 21:56:49

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Dans l'homothétie h
R'=k.R c'est une propriété.
k ayant été déterminé : $k=\frac{\sqrt 5}{5}$

Tu sais que $R=OC=2\sqrt 5$

Donc
$R'=\dfrac{\sqrt 5}{5}\times 2\sqrt 5=\dfrac{\sqrt 5}{5}\times \dfrac{2\sqrt 5}{1}=\dfrac{\sqrt 5\times 2\sqrt 5}{5\times 1}=\dfrac{2\times(\sqrt 5)^2}{5}=\dfrac{2\times 5}{5}=2$
C'est ce calcul qui te causait souci ?

Règle :
Pour multiplier une fraction par un nombre, on multiplie le numérateur de la fraction parce nombre : $\dfrac a b\times c=\dfrac{a \times c}{b}$

Règle que j'ai toujours refusé d'apprendre, préférant me ramener au produit de 2 fractions :
$\dfrac a b\times c=\dfrac a b\times \dfrac c 1 =\dfrac{a\times c}{ b\times 1}=\dfrac{a\times c}{ b}$


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#67 02-03-2020 22:07:17

yannD
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Re : Trouver une forme général

non, c'est ça : $\sqrt 5 \times2\sqrt 5$

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#68 02-03-2020 22:08:25

yannD
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Re : Trouver une forme général

il est tard, je te dis bonsoir et je te posterais l'exercice 2 demain matin

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#69 03-03-2020 08:16:14

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Bonjour,

$\sqrt b \times a\sqrt b=\sqrt b \times a\times\sqrt b= a\times (\sqrt b \times \sqrt b)=a\times (\sqrt b)^2 = a \times b$

@+


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#70 03-03-2020 11:14:31

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, j'ai exprimé le vecteur OB et le vecteur  OC en fonction de k et de OA mais pour la 2b) je ne vois pas comment factoriser

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#71 03-03-2020 12:06:28

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Salut,


Je reprends pour éviter les retours en arrière
Exercice 1
On considère 3 points A, B , C alignés dans cet ordre et distincts du plan tels que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une homothétie de  centre un 4e point O et de rapport k à définir qui transforme A en B et B en C.
Plan
Supposons qu'existe cette homothétie.
1. Exprimer $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ en fonction de k et $\overrightarrow{OA}$.
2. A partir de l'égalité  $\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AB}=\vec 0$
   a) A l'aide de la relation de Chasles, décomposer $\overrightarrow{AC}$ et  $\overrightarrow{AB}$ en passant par O.
   b) Développer et réduire
   c) Remplacer $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ par leur expression en fonction de $\overrightarrow{OA}$. Factoriser.
   d) En déduire la seule valeur de k possible.
3. Montrer que la valeur de k obtenue pour l'homothétie h transforme B en C

N-B : On a montré que notre supposition était exacte pour A et B, mais il faut montrer encore que le rapport trouvé permet à l'homothétie h de transformer B en C...

@+

Dernière modification par yoshi (03-03-2020 12:12:19)


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#72 03-03-2020 12:09:06

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Re,

Montre moi tout ce que tu as trouvé
Q1  $\overrightarrow{OB}= ...?$
      $\overrightarrow{OC}= ...?$

Q2

2. A partir de l'égalité  $\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AB}=\vec 0$
   a) A l'aide de la relation de Chasles, décomposer $\overrightarrow{AC}$ et  $\overrightarrow{AB}$ en passant par O.
   b) Développer et réduire

   Donc point de départ :  $\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AB}=\vec 0$ c'est l'énoncé.
   a) Tu décomposes  $\overrightarrow{AC}$ et  $\overrightarrow{AB}$ en passant par O.
       Montre-moi ta décomposition de $\overrightarrow{AC}$  et celle de $\overrightarrow{AB}$.
       J'espère qu'après le -4, tu as bien mis des parenthèses...
   b) Je ne demande pas de factoriser mais de développer et réduire.

Comment veux-tu être guidé si je ne sais pas ce que tu as fait ?

@+


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#73 03-03-2020 14:43:34

yannD
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Re : Trouver une forme général

Q1     $\overrightarrow{OB}= k . \overrightarrow{OA}$
         $\overrightarrow{OC}= k.  \overrightarrow{OA}$


Q2      $ \overrightarrow{AC}  = -  \overrightarrow{OA} +  \overrightarrow{OC}$
          $ \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{OA} +  \overrightarrow{OB}$

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#74 03-03-2020 17:35:51

yoshi
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Re : Trouver une forme général

Salut,

Question 1
$\overrightarrow{OB}= k . \overrightarrow{OA}$ Oui
$\overrightarrow{OC}= k.  \overrightarrow{OA}$ Nn !
De tes 2 égalités, moi je conclus que :
$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ et donc que B=C : les points B et C sont confondus.
L'énoncé dit portant : A, B et C 3 points distincts

Désolé Yann, veux-tu bien regarder si le bouton de mise en marche de ton cerveau est positionné sur ON.
Parce que là, tu n'as absolument pas pris en compte l'énoncé en plus de ce qui dit ci-dessus.
Que dit-il cet énoncé ?
Que l'homothétie qu'on cherche
- Transforme A en B tu en as déduit que $\overrightarrow{OB}=k.\overrightarrow{OA}$ (1) D'accord !
- transforme B en C, donc tu dois en déduire que $\overrightarrow{OC}= ... ?  (2)

Des égalités (1) et (2), tu déduis une 3e égalité, laquelle ?

Question 2
a)
$ \overrightarrow{AC}  = -  \overrightarrow{OA} +  \overrightarrow{OC}$
$ \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{OA} +  \overrightarrow{OB}$
oui
b)
Encore une fois mon plan te dit quoi ?
A partir de l'égalité $\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AB}=\vec 0$
Développer et réduire.
Alors, il faut que ce soit encore plus précis ?
Dans l'égalité $\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AB}=\vec 0$ remplacer les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ par leur décomposition du a).
Développer et réduire...

@+


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#75 04-03-2020 15:40:10

yannD
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Re : Trouver une forme général

Bonjour Yoshi, je te demande pardon si je n'ai pas répondu tout de suite hier, j'ai recopié l'énoncé une dizaine de fois et je l'ai lu à haute voix, mais à la question 1) il est demandé d'exprimer le vecteur OB et le vecteur OC en fonction de k et de vecteur OA donc c'est pour cela que j'ai mis vecteur OC  = k vecteur OA

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